logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4104

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sialalam
postów: 47
2016-01-15 14:05:58

Sprawdż zbieżność szeregu:

a) $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n +1}{\sqrt{n}((n+1)^{2}} $

b) $ \sum_{n=1}^{\infty} (1 + \frac{1}{n})^{-n} $


tumor
postów: 8070
2016-01-15 19:12:56

W mianowniku można przed nawias wyciągnąć potęgę $n^\frac{5}{2}$, w liczniku $n^1$, po skróceniu mianownik ma $n^\frac{3}{2}$,
szeregi postaci $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ dla $\alpha>1$ są zbieżne, dla $0\le \alpha \le 1$ rozbieżne.



b) sprawdź warunek konieczny zbieżności.


sialalam
postów: 47
2016-01-17 01:07:57

Niestety mimo prób wyliczenia niewiem skąd wzięła sie wyciągnięta w mianowniku potęga i jakim cudem później zostaje nam postać $\frac{1}{n^{\alpha}}$ skoro w liczniku jest jeszcze jedynka, którą przy wyciąganiu n przed nawias trzeba zapisać jako $\frac{1}{n}$


tumor
postów: 8070
2016-01-17 08:29:40

a)

$\frac{n(2+\frac{1}{n})}{n^\frac{1}{2}*n^2(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})}=
\frac{(2+\frac{1}{n})}{n^\frac{1}{2}*n(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})}$

Nawiasy, których wartość zbliża się do stałych (2 w liczniku, 1 w mianowniku) nie mają wpływu na zbieżność tego szeregu, można tu użyć kryterium porównawczego i ograniczyć ten ciąg z góry przez

$\frac{3}{n^\frac{3}{2}}$

b) a jak tam warunek konieczny zbieżności?


sialalam
postów: 47
2016-01-17 13:04:54

Nie rozumiem skąd to dążenie w mianowniku do 1 przecież $\frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}$ dla 1 daje np. 3

b) rozumiem, iż chodzi o granice dla sumy szeregu, która musi byc równa 0


tumor
postów: 8070
2016-01-17 20:55:31

Na zbieżność szeregu NIE MAJĄ wpływu początkowe wyrazy ciągu. Jeśli masz szereg zbieżny, a zmienisz początkowe wyrazy ciągu na jakieś miliardowe, biliardowe, to nie zmienia to faktu zbieżności (podobnie: rozbieżności).

Jeśli zatem od pewnego miejsca wyrazy ciągu $a_n$ są (na moduł) mniejsze niż wyrazy ciągu $\frac{3}{n^\frac{3}{2}}$, a szereg
$\sum \frac{3}{n^\frac{3}{2}}$ jest zbieżny, to i szereg $\sum a_n$ jest zbieżny, nawet jeśli ma większe początkowe wyrazy. Nieważne, jak wiele początkowych wyrazów, byle skończoną ilość.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj