logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 4108

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

paulina_a
postów: 11
2016-01-15 21:52:33

Mam problem z zadaniem z granic funkcji:
$\lim_{x \to e} \frac{lnx-1}{x-e}$

Wynik to$\frac{1}{e}$



janusz78
postów: 820
2016-01-15 22:23:39

Mamy symbol nieoznaczony $ [\frac{0}{0}]$ zastosuj regułę markiza de l'Hospitala.



paulina_a
postów: 11
2016-01-16 00:04:33

Po zastosowaniu l'Hospitala wyszło: $\lim_{x \to e}\frac{1}{x-e}$
Co dalej?


tumor
postów: 8070
2016-01-16 01:01:02

Poucz się pochodnych. Wychodzi $\frac{1}{x}$.
$\lim_{x \to e}\frac{1}{x}=\frac{1}{e}$


paulina_a
postów: 11
2016-01-16 02:13:08


Na zajęciach robiłam to w ten sposób ale kompletnie tego nie rozumiem. Jak mogę to zrobić prostszą metodą?


paulina_a
postów: 11
2016-01-16 02:13:23

http://zapodaj.net/f36bf9dcaa6f1.jpg.html


tumor
postów: 8070
2016-01-16 09:23:30

To na zajęciach jest bardzo ładne, choć nie jest szybkie.

Szybszą metodą jest właśnie reguła de l'Hospitala, bo wynik jest w jednej linijce.


janusz78
postów: 820
2016-01-16 11:47:24

Jeśli w treści zadania jest polecenie - nie stosując twierdzenia de l'Hospitala proszę obliczyć granicę, to możemy zastosować metodę podstawień:

$ ln(x) = t$

$x = e^{t},$

$ \lim_{x\to e}\frac{\ln(x)-1}{x- e}=\lim_{t\to 1}\frac{t}{e^{t}-e}= \lim_{t\to 1} \frac{t}{e(e^{t}-1}= \frac{1}{e}\lim_{t\to 1}\frac{1}{\frac{e^{t}-1}{t}} $ (1)

Pokażemy, że granica

$\lim_{t\to 1}\frac{1}{\frac{e^{t}-1}{t}}= 1.$

$ e^{t}-1 =u,\ \ t = ln(u+1),$

$\lim_{t\to 1}\frac{1}{\frac{e^{t}-1}{t}}= \lim_{u\to 0}\frac{ln(u+1)}{u}= \lim_{u\to 0}\frac{1}{u}ln(1+u)=\lim_{u\to 0}ln(1+u)^{\frac{1}{u}}= ln(e) =1.$

Z równości (1) wynika

$ \lim_{x\to e}\frac{ln(x) -1}{x- e}= \frac{1}{e}\cdot 1= \frac{1}{e}.$


paulina_a
postów: 11
2016-01-16 17:20:23

dziękuję za pomoc ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 64 drukuj