logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4111

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-01-16 16:13:49

Wyznacz granicę ciągu:

a) $a_{n}=(2n-1) sin \frac{n}{3n^{2}+1}$

b) $b_{n}=\frac{log_{2}(2n^{4}+n^{2}+10)}{log_{2}(n^{8}+10n^{4}+n)}$

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-16 16:26:08 przez brightnesss

janusz78
postów: 820
2016-01-16 17:14:57

a)
Skorzystaj z nierówności

$sin( \frac{n}{3n^2+1})\leq \frac{n}{3n^2+1}$

i twierdzenia o trzech ciągach:

$ (2n-2)\sin(\frac{n}{3n^2+1})\leq (2n-1)\sin(\frac{n}{3n^2+1})\leq 2n\sin(\frac{n}{3n^2+1})$

Odp:$ \frac{2}{3}.$

b)

Z twierdzenia o trzech ciągach

$\frac{\log_{2}(2n^4)}{\log_{2}(3n^8)}\leq \frac{log_{2}(2n^4+n^2+10)}{log_{2}(n^8+10n^4+n)}\leq \frac{log_{2}(4n^4)}{log_{2}(n^8)}$

Odp: $\frac{1}{2}.$

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-16 19:41:59 przez janusz78

tumor
postów: 8070
2016-01-16 17:41:46

a) możesz mi zacytować to twierdzenie?

b)$ \frac{lgn^4}{lgn^8}=\frac{4lgn}{8lgn}\to \frac{1}{2}$

Znów dam Ci, Janusz, dobę na poprawę Twojego rozwiązania. Inaczej ja poprawię. To jest bardzo nie w porządku, że ludzi wprowadzasz w błąd.


brightnesss
postów: 113
2016-01-16 18:01:49

Bardzo dziękuję, tylko mam problem bo nie wiem jak skorzystać z twierdzenia o dwóch ciągach. Czytałam na Wikipedii, ale to mi troche nie pasuje do tego przykładu.


brightnesss
postów: 113
2016-01-16 18:02:40

Właśnie myślałam że to twierdzenie tu nie pasuje.


tumor
postów: 8070
2016-01-16 21:25:06

Teraz lepiej, Janusz. Nie musisz przepraszać za kolejne błędy.

Jeszcze dodajmy, że januszowe rozwiązanie a) jest wyjaśnianiem nieznanego przez nieznane, bo jeśli ktoś nie umie rozwiązać granicy

$(2n-1)sin\frac{n}{3n^2+1} $

to trudno mu ją wyjaśniać przez granicę

$(2n-2)sin\frac{n}{3n^2+1}$.

Korzystamy z faktu, że jeśli ciąg o wyrazach niezerowych $a_n$ ma granicę 0, to

$\frac{sin(a_n)}{a_n}$ ma granicę 1.


Wobec tego

$(2n-1)sin\frac{n}{3n^2+1}=\frac{sin\frac{n}{3n^2+1}}{\frac{n}{3n^2+1}} *\frac{n*(2n-1)}{3n^2+1}$

Pierwszy czynnik ma granicę 1, drugi to prosta granica $\frac{2}{3}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 70 drukuj