logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4112

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-01-16 18:16:24

Dla jakich wartości dodatniego rzeczywistego parametru a poniższy szereg jest zbieżny warunkowo?

$ \frac{(-1)^{n}}{n \cdot ln^{a}n} $


tumor
postów: 8070
2016-01-16 21:13:58

Dla sprawdzenia zbieżności szeregu

$\sum \frac{1}{n (ln n)^\alpha}$
sugeruję użyć kryterium zagęszczania Cauchy'ego dla podstawy potęgi $2$ (i zmiany podstawy logarytmu z e na 2).

Wtedy dostaniesz, które szeregi są zbieżne bezwzględnie.
A te, które nie są zbieżne bezwzględnie, ale spełniają założenia kryterium Leibniza, będą zbieżne warunkowo.

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-16 23:19:30 przez tumor

janusz78
postów: 820
2016-01-16 21:55:11

Szereg jest zbieżny warunkowo, jeśli jest zbieżny ale nie jest zbieżny bezwzględnie.

Z kryterium Leibniza ciąg $ (a_{n})= (\frac{1}{nln^{a}(n)})$ jest ciągiem malejącym i zbieżnym do zera, gdy

$ \frac{1}{(n+1)ln^{a}(n+1)}- \frac{1}{nln^{a}(n)}< 0.)$

Ponieważ logarytm naturalny jest funkcją rosnącą więc

nierówność ta zachodzi dla $a \geq 0.$

Na mocy kryterium całkowego szereg wartości bezwzględnych

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nln^{a}(n)}$

jest rozbieżny , gdy całka

$ \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln^{a}(x)}dx $

jest rozbieżna.

Ma to miejsce wtedy, gdy $ a<1 $(proszę sprawdzić!)

Badany szereg jest zbieżny warunkowo, gdy $ 0 \leq a < 1.$

Treść zadania powinna brzmieć:

Dla jakiej wartości nieujemnej $ a $, szereg

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n\ln^{a}(n)}$

jest zbieżny warunkowo.





tumor
postów: 8070
2016-01-16 22:28:46

Znów poprawmy Janusza, że dla a=1 szereg
$\sum \frac{1}{n(lnn)^a}$ jest rozbieżny, czyli
zbieżność warunkową otrzymujemy dla
$0\le a \le 1$.

Jak już prosisz sprawdzić, Janusz, to czemu nie sprawdzasz?



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 56 drukuj