Analiza matematyczna, zadanie nr 4112
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
brightnesss postów: 113 | 2016-01-16 18:16:24 Dla jakich wartości dodatniego rzeczywistego parametru a poniższy szereg jest zbieżny warunkowo? $ \frac{(-1)^{n}}{n \cdot ln^{a}n} $ |
tumor postów: 8070 | 2016-01-16 21:13:58 Dla sprawdzenia zbieżności szeregu $\sum \frac{1}{n (ln n)^\alpha}$ sugeruję użyć kryterium zagęszczania Cauchy'ego dla podstawy potęgi $2$ (i zmiany podstawy logarytmu z e na 2). Wtedy dostaniesz, które szeregi są zbieżne bezwzględnie. A te, które nie są zbieżne bezwzględnie, ale spełniają założenia kryterium Leibniza, będą zbieżne warunkowo. Wiadomość była modyfikowana 2016-01-16 23:19:30 przez tumor |
janusz78 postów: 820 | 2016-01-16 21:55:11 Szereg jest zbieżny warunkowo, jeśli jest zbieżny ale nie jest zbieżny bezwzględnie. Z kryterium Leibniza ciąg $ (a_{n})= (\frac{1}{nln^{a}(n)})$ jest ciągiem malejącym i zbieżnym do zera, gdy $ \frac{1}{(n+1)ln^{a}(n+1)}- \frac{1}{nln^{a}(n)}< 0.)$ Ponieważ logarytm naturalny jest funkcją rosnącą więc nierówność ta zachodzi dla $a \geq 0.$ Na mocy kryterium całkowego szereg wartości bezwzględnych $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nln^{a}(n)}$ jest rozbieżny , gdy całka $ \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln^{a}(x)}dx $ jest rozbieżna. Ma to miejsce wtedy, gdy $ a<1 $(proszę sprawdzić!) Badany szereg jest zbieżny warunkowo, gdy $ 0 \leq a < 1.$ Treść zadania powinna brzmieć: Dla jakiej wartości nieujemnej $ a $, szereg $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n\ln^{a}(n)}$ jest zbieżny warunkowo. |
tumor postów: 8070 | 2016-01-16 22:28:46 Znów poprawmy Janusza, że dla a=1 szereg $\sum \frac{1}{n(lnn)^a}$ jest rozbieżny, czyli zbieżność warunkową otrzymujemy dla $0\le a \le 1$. Jak już prosisz sprawdzić, Janusz, to czemu nie sprawdzasz? |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj