logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 4115

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

drogba11
postów: 2
2016-01-17 14:14:33

Witam mam problem z wyprowadzeniem dowodu.

(arccos)'=1/\(sqrt{1-x^{2}})


janusz78
postów: 820
2016-01-17 18:27:49

Dowód:

Funkcja $ \arccos $ jest funkcją odwrotną do funkcji kosinus ograniczonej do przedziału $ \left[0,\pi \right].$.
Funkcja $ \arccos $ jest ciągła i przekształca przedział $ \left[-1, 1\right]$na przedział $ \left[0, \pi \right].$ Na tym ostatnim przedziale funkcja $sinus $ przyjmuje nieujemne wartości.

Stąd wynika, że jeśli $ 0\leq y \leq \pi,$ to $ sin(y) = \sqrt{1-cos^2(y)}.$ Ponieważ pochodna funkcji kosinus jest różna od 0 w punktach przedziału otwartego $ (0, \pi),$ więc funkcja $ arccos $jest różniczkowalna w punktach odpowiadających punktom przedziału $(-\pi, \pi),$ czyli w punktach przedziału otwartego $(-1,1).$

Mamy więc

$1 = x' = (cos(arccos(x))' = -sin(arc(cos(x))\cdot (arccos(x))'=-\sqrt{1- cos^2(arccos(x))}\cdot (arccos(x))'=-\sqrt{1-x^2}\cdot (arc\cos(x))'.$

Z tej równości wynika, że

$(arccos(x))' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.$




tumor
postów: 8070
2016-01-17 21:16:56

Pochodną $f`(x)$ możemy też oznaczyć $y`(x)$ albo $\frac{dy}{dx}$.

Jeśli rozumiemy pochodną w punkcie jako graniczny tangens kąta nachylenia wykresu funkcji, to jeśli
$f`(x_0)=\frac{dy}{dx}(x_0)$
to pochodną funkcji odwrotnej rozumiemy automatycznie:
$(f^{-1})(y_0)=\frac{dx}{dy}(y_0)=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}(y_0)$

gdzie $y_0=f(x_0)$.

Wzór ten będzie się stosował zawsze, gdy istnieje pochodna funkcji y(x) i pochodna funkcji x(y).
Wobec tego dla $f(x)=arccos(x)$ i $f^{-1}(y)=cosy$ będzie
$
arccos`(x)=\frac{1}{cos`(y)}=\frac{1}{-sin(y)}=\frac{1}{-\sqrt{1-cos^2(y)}}$
a skoro $y=arccosx$ to
$arccos`(x)=\frac{1}{-\sqrt{1-cos^2(arccosx)}}=\frac{1}{-\sqrt{1-x^2}}$

Rozumowania nie musisz powtarzać dla innych funkcji. Jeśli tylko w odpowiednie pochodne istnieją, to zawsze będzie
$y`(x)=\frac{1}{x`(y)}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 42 drukuj