Inne, zadanie nr 4115
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
drogba11 post贸w: 2 |  2016-01-17 14:14:33Witam mam problem z wyprowadzeniem dowodu. (arccos)\'=1/\(sqrt{1-x^{2}}) |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-01-17 18:27:49 Dow贸d: Funkcja $ \arccos $ jest funkcj膮 odwrotn膮 do funkcji kosinus ograniczonej do przedzia艂u $ \left[0,\pi \right].$. Funkcja $ \arccos $ jest ci膮g艂a i przekszta艂ca przedzia艂 $ \left[-1, 1\right]$na przedzia艂 $ \left[0, \pi \right].$ Na tym ostatnim przedziale funkcja $sinus $ przyjmuje nieujemne warto艣ci. St膮d wynika, 偶e je艣li $ 0\leq y \leq \pi,$ to $ sin(y) = \sqrt{1-cos^2(y)}.$ Poniewa偶 pochodna funkcji kosinus jest r贸偶na od 0 w punktach przedzia艂u otwartego $ (0, \pi),$ wi臋c funkcja $ arccos $jest r贸偶niczkowalna w punktach odpowiadaj膮cych punktom przedzia艂u $(-\pi, \pi),$ czyli w punktach przedzia艂u otwartego $(-1,1).$ Mamy wi臋c $1 = x\' = (cos(arccos(x))\' = -sin(arc(cos(x))\cdot (arccos(x))\'=-\sqrt{1- cos^2(arccos(x))}\cdot (arccos(x))\'=-\sqrt{1-x^2}\cdot (arc\cos(x))\'.$ Z tej r贸wno艣ci wynika, 偶e $(arccos(x))\' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.$ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-01-17 21:16:56 Pochodn膮 $f`(x)$ mo偶emy te偶 oznaczy膰 $y`(x)$ albo $\frac{dy}{dx}$. Je艣li rozumiemy pochodn膮 w punkcie jako graniczny tangens k膮ta nachylenia wykresu funkcji, to je艣li $f`(x_0)=\frac{dy}{dx}(x_0)$ to pochodn膮 funkcji odwrotnej rozumiemy automatycznie: $(f^{-1})(y_0)=\frac{dx}{dy}(y_0)=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}(y_0)$ gdzie $y_0=f(x_0)$. Wz贸r ten b臋dzie si臋 stosowa艂 zawsze, gdy istnieje pochodna funkcji y(x) i pochodna funkcji x(y). Wobec tego dla $f(x)=arccos(x)$ i $f^{-1}(y)=cosy$ b臋dzie $ arccos`(x)=\frac{1}{cos`(y)}=\frac{1}{-sin(y)}=\frac{1}{-\sqrt{1-cos^2(y)}}$ a skoro $y=arccosx$ to $arccos`(x)=\frac{1}{-\sqrt{1-cos^2(arccosx)}}=\frac{1}{-\sqrt{1-x^2}}$ Rozumowania nie musisz powtarza膰 dla innych funkcji. Je艣li tylko w odpowiednie pochodne istniej膮, to zawsze b臋dzie $y`(x)=\frac{1}{x`(y)}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj