logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4123

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

gaha
postów: 136
2016-01-18 22:23:14

Wyznacz w zbiorze (a) trójelementowym, (b) czteroelementowym, wszystkie – z dokładnością do izomorfizmu
– porządki częściowe. Ile jest wśród nich porządków liniowych, a ile dobrych?

(c) Ile jest nieizomorficznych porządków częściowych w zbiorze n-elementowym?

Całe zadanie wygląda tak, ja jednak proszę o pomoc w podpunkcie (c). Wytłumaczenie zadania można zacząć od wyjaśnienia, czym są porządki nieizomorficzne.

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-18 22:23:51 przez gaha

tumor
postów: 8070
2016-01-19 07:41:21

Jeśli $R\subset X\times X$ oraz $S\subset Y\times Y$ są porządkami częściowymi, to są one izomorficzne, jeśli istnieje bijekcja $f:X\to Y$ zachowująca porządek, czyli $x_1Rx_2 \iff f(x_1)Sf(x_2)$.

Jeśli takie f nie istnieje, to izomorficzne nie są. To samo dotyczy wszelkich struktur - izomorfizm to bijekcja zachowująca strukturę.

Dla przykładu porządkami częściowymi w trójelementowym zbiorze $\{a,b,c\}$ są
$R=\{(a,b), (a,c)\}$
$S=\{(a,b), (a,c), (b,c)\}$
$T=\{(b,c)\}$
i już z samego faktu, że każda z tych relacji ma inną ilość elementów jest pewne, że relacje te izomorficzne nie są.

A na przykład $T$ i relacja
$U=\{(a,b)\}$ są izomorficzne, wystarczy wziąć bijekcję
$f(a)=c$
$f(b)=a$
$f(c)=b$
i pokazać, że zachowuje ona porządek w sensie zapisanym na początku tego postu.


Dość dobrze brak izomorfizmu będzie widać na diagramach porządków.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 24 drukuj