logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4171

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kadia
postów: 11
2016-01-24 18:13:48

Bardzo potrzebuję, pomocy przy rozwiązaniu tych dwóch całek. Na prawdę sama nie potrafię sobie z nimi poradzić. Proszę o szybką pomoc.. ;(



kadia
postów: 11
2016-01-24 18:14:41

jedna z nich



kadia
postów: 11
2016-01-24 18:15:25

druga

proszę o pomoc


janusz78
postów: 820
2016-01-24 19:23:23

Patrz regulamin forum, skany nie są mile widziane!

$ \int\frac{x+3}{9x^2+6x +17}dx = \int \frac{x}{9x^2+6x+17}dx +\int\frac{3}{9x^2+6x +17}dx = I_{1}+ I_{2}.$

Pierwszą z całek sprowadzamy do pochodnej z logarytmu naturalnego mnożąc licznik i mianownik przez 18 oraz dodając - i odejmując 6 (żeby się nic nie zmieniło).

A drugą z całek wraz z całką wynikającą z odjęcia 6, to jest całkę

$ \frac{8}{3}\int \frac{1}{9x^2+6x +17}dx $

sprowadzamy do całki z arkusa tangensa, przekształcając trójmian kwadratowy $9x^2 +6x +17 $ do postaci kanonicznej.

Drugą całkę b) obliczamy w ten sam sposób.

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-24 20:23:43 przez janusz78

kadia
postów: 11
2016-01-24 20:15:53

Mógłby Pan obliczyć przynajmniej tą jedną całkę do końca ? Bo nie mam pojęcia czy to dobrze obliczam. Bardzo proszę.


janusz78
postów: 820
2016-01-24 20:24:43

Pokaż swoje obliczenia !


kadia
postów: 11
2016-01-24 20:34:17

∫x/9x2+6x+17dx + ∫3/9x2+6x+17dx = ∫18x/162+108+306dx +∫1/3x2+2x+17dx=
i nie wiem co dalej od tej pierwszej odejmować 6 ?


kadia
postów: 11
2016-01-24 20:35:38

Coś mi nie wyszło przepisanie, dodam zdjęcie


kadia
postów: 11
2016-01-24 20:40:30




janusz78
postów: 820
2016-01-24 21:18:10

$I_{1}+I_{2} = \int \frac{x}{9x^2 +6x +17}dx + 3\int\frac{1}{9x^2 +6x +17}dx = \frac{1}{18}\int \frac{18x +6 -6}{9x^2 +6x +17}dx + 3 \int \frac{1}{9x^2 +6x +17}dx,$

$I_{1}+I_{2} = \frac{1}{18}\int \frac{18x +6}{9x^2 +6x +17}dx
- \frac{1}{3}\int \frac{1}{9x2 +6x+17}dx +3\int \frac{1}{9x^2+6x+17}dx, $

$I_{1}+I_{2}= \frac{1}{18} \ln(9x^2+6x +17) + A + \frac{8}{3}\int \frac{1}{9x^2 + 6x +17}dx = \frac{1}{18}\ln(9x^2 +6x +17) + A + I_{3},$

$ I_{3}= \frac{8}{3}\int \frac{1}{9x^2 +6x +17}dx.$

Mianownik funkcji podcałkowej sprowadzamy do postaci kanonicznej i postaci pochodnej z funkcji arkus tangens.

$ 9x^2 +6x +17 = 9\left( x^2 +2\cdot \frac{1}{3}x +(\frac{1}{3})^2 + \frac{16}{9}\right)= 9 [(x+\frac{1}{3})^2+\frac{16}{9}].$

$ 9x^2 +6x +17 = \frac{81}{16}\left[ \frac{(x+\frac{1}{3})^2}{\frac{16}{9}} + 1 \right]= \frac{81}{16}\left[ (\frac{3x+1}{4})^2 +1 \right].$

Podstawienie

$ \frac{3x+1}{4} = t, \ \ \frac{3}{4}dx = dt \ \ dx = \frac{4}{3}dt.$

$ I_{3}= \frac{8}{3}\cdot \frac{16}{81}\cdot \frac{4}{3}\int \frac{1}{t^2 +1}dt = \frac{492}{729}\arctan\left(\frac{3x+1}{4}\right) + B.$

$ I_{1}+I_{2}= \frac{1}{18}\ln(9x^2 +6x +17)+\frac{492}{729}\arctan\left(\frac{3x+1}{4}\right) + C, \ \ C = A + B.$



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 27 drukuj