logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4217

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-01-27 17:47:07

Jak udowodnić, że między dwoma liczbami wymiernymi znajduje się liczba niewymierna?


tumor
postów: 8085
2016-01-27 18:02:37

Najlepiej ją wprost podać. :)
Jeśli a<b są wymierne, to

$a+(b-a)(\sqrt{2}-1)$ jest niewymierną między nimi


brightnesss
postów: 113
2016-01-27 19:27:15

A można przeprowadzić jakis bardziej formalny dowód? :)


tumor
postów: 8085
2016-01-27 19:37:38

Oczywiście. Jeśli x jest liczbą niewymierną dodatnią, ale mniejszą niż 1 (na przykład $\frac{\pi}{8}$ albo $\sqrt{2}-1$ albo $\frac{\sqrt{666}}{666}$)

to wystarczy do liczby a (mniejszej wymiernej) dodać różnicę (b-a) mnożoną przez x (to liczba mniejsza niż 1, więc wynik nie przekroczy b.)

To właśnie zrobiłem.

Masz ciekawe podejście, że matematyka ma być niezrozumiała, bo wyjście proste jest złe. Chyba nie do końca się z tym zgodzę, bo jednak dla mnie matematyka to droga skutecznego rozwiązywania problemów, a nie zabawa w symbole.

----

Ładny dowód będzie też wyglądał tak.
Jeśli a,b gdzie a<b są dwiema liczbami wymiernymi, między którymi nie ma niewymiernej, przesuwając przedział (a,b) o odpowiednią, całkowitą krotność liczby (b-a) wymiernej, otrzymamy wniosek, że wszystkie liczby rzeczywiste są wymierne.



Wiadomość była modyfikowana 2016-01-27 19:47:42 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 153 drukuj