Analiza funkcjonalna, zadanie nr 4244
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
ania16177 post贸w: 49 |  2016-01-29 22:31:26Wykaza膰, 偶e je偶eli pochodna funkcji zespolonej $f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy$, istnieje w punkcie $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$, to zachodzi r贸wno艣膰 $f\'(z_{0})=\frac{\partial u }{\partial x} (x_{0}, y_{0}) + i\frac{\partial v }{\partial y} (x_{0},y_{0})$ Z g贸ry dzi臋kuj臋  Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-01-29 22:31:41 przez ania16177 |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-01-30 17:53:04 Lemat Warunkiem C - liniowo艣ci odwzorowania $ f: C \rightarrow C$ jest aby jego macierz mia艂a posta膰 $ \left[\begin{matrix}a&-b\\ b&a \end{matrix}\right].$ Dow贸d: $f (z)= w\cdot z = (a+ ib)(x+ iy) = (ax-by)+i(ay+bx).$ $ \left[\begin{matrix}ax-by\\ay+bx \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}a& -b\\ b&a \end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}x\\ y \end{matrix}\right].$ c.b.d.o. Rozwa偶amy funkcj臋 jednej zmiennej zespolonej $ f: C \rightarrow C $ Warto艣膰 funkcji $ f $ w punkcie $z= x+iy $ mo偶na roz艂o偶y膰 na cz臋艣膰 rzeczywist膮 i urojon膮 w standardowych oznaczeniach $f(z)= f(x+iy ) = u(x,y) + iv(x,y).$ Ka偶da funkcja zmiennej zespolonej o warto艣ciach w $ C $ zwi膮zana jest z dwiema funkcjami $ u, v $ dw贸ch zmiennych rzeczywistych $x, y$. W tym sensie mo偶emy pyta膰, czy f jest r贸偶niczkowalna w punkcie $ z= x+iy $ w sensie rzeczywistym jako odwzorowanie $ f: R^2 \rightarrow R^2$? Je艣li $ f $ jest r贸偶niczkowalna w punkcie $ z=x+iy $ to istniej膮 pochodne cz膮stkowe $u\'_{x}, \ \ u\'_{y}, \ \ v\'_{x}, v\'_{y}$ i pochodna ma posta膰 $ f\'(z)=\left[ \begin{matrix}u\'_{x}&u\'_{y}\\ v\'_{x}&v\'_{y}\end{matrix}\right].$ Warunek C-liniowo艣ci oznacza, 偶e $u\'_{x}= v\'_{y} $ oraz $ v\'_{x}= -u\'_{y}.$ Sa to warunki Cauchy-Riemanna. Funkcja $ f: C \rightarrow C $ jest wi臋c r贸偶niczkowalna w sensie zespolonym w punkcie $z $ je艣li jest r贸偶niczkowalna w sensie rzeczywistym i pochodne cz臋艣ci rzeczywistej i urojonej spe艂niaj膮 warunki Cauchy-Riemanna. W takim wypadku macierz pochodnej odpowiada mno偶eniu przez pewn膮 liczb臋 zespolon膮, kt贸r膮 oznaczamy przez $ f\'(z).$ Z warunk贸w Cauchy-Riemanna wynika, 偶e jest to liczba $f\'(z)= u\'_{x} - iv\'{y} = v\'_{y}+ i v\'_{x}= v\'_{y}-iu\'_{y}= u\'_{x}+ iv\'_{x} = u\'_{x}+ iv\'_{y}.$ K艂ad膮c za dowolny punkt $(x, y)\in C $ punkt $ (x_{0}, y_{o})$ - otrzymujemy tez臋 twierdzenia. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj