Analiza funkcjonalna, zadanie nr 4244
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
ania16177 postów: 49 | 2016-01-29 22:31:26 Wykazać, że jeżeli pochodna funkcji zespolonej $f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy$, istnieje w punkcie $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$, to zachodzi równość $f'(z_{0})=\frac{\partial u }{\partial x} (x_{0}, y_{0}) + i\frac{\partial v }{\partial y} (x_{0},y_{0})$ Z góry dziękuję Wiadomość była modyfikowana 2016-01-29 22:31:41 przez ania16177 |
janusz78 postów: 820 | 2016-01-30 17:53:04 Lemat Warunkiem C - liniowości odwzorowania $ f: C \rightarrow C$ jest aby jego macierz miała postać $ \left[\begin{matrix}a&-b\\ b&a \end{matrix}\right].$ Dowód: $f (z)= w\cdot z = (a+ ib)(x+ iy) = (ax-by)+i(ay+bx).$ $ \left[\begin{matrix}ax-by\\ay+bx \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}a& -b\\ b&a \end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}x\\ y \end{matrix}\right].$ c.b.d.o. Rozważamy funkcję jednej zmiennej zespolonej $ f: C \rightarrow C $ Wartość funkcji $ f $ w punkcie $z= x+iy $ można rozłożyć na część rzeczywistą i urojoną w standardowych oznaczeniach $f(z)= f(x+iy ) = u(x,y) + iv(x,y).$ Każda funkcja zmiennej zespolonej o wartościach w $ C $ związana jest z dwiema funkcjami $ u, v $ dwóch zmiennych rzeczywistych $x, y$. W tym sensie możemy pytać, czy f jest różniczkowalna w punkcie $ z= x+iy $ w sensie rzeczywistym jako odwzorowanie $ f: R^2 \rightarrow R^2$? Jeśli $ f $ jest różniczkowalna w punkcie $ z=x+iy $ to istnieją pochodne cząstkowe $u'_{x}, \ \ u'_{y}, \ \ v'_{x}, v'_{y}$ i pochodna ma postać $ f'(z)=\left[ \begin{matrix}u'_{x}&u'_{y}\\ v'_{x}&v'_{y}\end{matrix}\right].$ Warunek C-liniowości oznacza, że $u'_{x}= v'_{y} $ oraz $ v'_{x}= -u'_{y}.$ Sa to warunki Cauchy-Riemanna. Funkcja $ f: C \rightarrow C $ jest więc różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie $z $ jeśli jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym i pochodne części rzeczywistej i urojonej spełniają warunki Cauchy-Riemanna. W takim wypadku macierz pochodnej odpowiada mnożeniu przez pewną liczbę zespoloną, którą oznaczamy przez $ f'(z).$ Z warunków Cauchy-Riemanna wynika, że jest to liczba $f'(z)= u'_{x} - iv'{y} = v'_{y}+ i v'_{x}= v'_{y}-iu'_{y}= u'_{x}+ iv'_{x} = u'_{x}+ iv'_{y}.$ Kładąc za dowolny punkt $(x, y)\in C $ punkt $ (x_{0}, y_{o})$ - otrzymujemy tezę twierdzenia. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj