logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza funkcjonalna, zadanie nr 4244

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

Ania
postów: 49
2016-01-29 22:31:26

Wykazać, że jeżeli pochodna funkcji zespolonej $f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy$, istnieje w punkcie $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$, to zachodzi równość
$f'(z_{0})=\frac{\partial u }{\partial x} (x_{0}, y_{0}) + i\frac{\partial v }{\partial y} (x_{0},y_{0})$

Z góry dziękuję

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-29 22:31:41 przez Ania

janusz78
postów: 820
2016-01-30 17:53:04

Lemat

Warunkiem C - liniowości odwzorowania $ f: C \rightarrow C$ jest aby jego macierz miała postać

$ \left[\begin{matrix}a&-b\\ b&a \end{matrix}\right].$

Dowód:

$f (z)= w\cdot z = (a+ ib)(x+ iy) = (ax-by)+i(ay+bx).$

$ \left[\begin{matrix}ax-by\\ay+bx \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}a& -b\\ b&a \end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}x\\ y \end{matrix}\right].$

c.b.d.o.


Rozważamy funkcję jednej zmiennej zespolonej

$ f: C \rightarrow C $

Wartość funkcji $ f $ w punkcie $z= x+iy $ można rozłożyć na część rzeczywistą i urojoną w standardowych oznaczeniach

$f(z)= f(x+iy ) = u(x,y) + iv(x,y).$

Każda funkcja zmiennej zespolonej o wartościach w $ C $ związana jest z dwiema funkcjami $ u, v $ dwóch zmiennych rzeczywistych $x, y$.

W tym sensie możemy pytać, czy f jest różniczkowalna w punkcie $ z= x+iy $ w sensie rzeczywistym jako odwzorowanie

$ f: R^2 \rightarrow R^2$?

Jeśli $ f $ jest różniczkowalna w punkcie $ z=x+iy $ to istnieją pochodne cząstkowe

$u'_{x}, \ \ u'_{y}, \ \ v'_{x}, v'_{y}$

i pochodna ma postać

$ f'(z)=\left[ \begin{matrix}u'_{x}&u'_{y}\\ v'_{x}&v'_{y}\end{matrix}\right].$

Warunek C-liniowości oznacza, że $u'_{x}= v'_{y} $ oraz $ v'_{x}= -u'_{y}.$

Sa to warunki Cauchy-Riemanna.

Funkcja $ f: C \rightarrow C $ jest więc różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie $z $ jeśli jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym i pochodne części rzeczywistej i urojonej spełniają warunki Cauchy-Riemanna.

W takim wypadku macierz pochodnej odpowiada mnożeniu przez pewną liczbę zespoloną, którą oznaczamy przez $ f'(z).$

Z warunków Cauchy-Riemanna wynika, że jest to liczba

$f'(z)= u'_{x} - iv'{y} = v'_{y}+ i v'_{x}= v'_{y}-iu'_{y}= u'_{x}+ iv'_{x} = u'_{x}+ iv'_{y}.$

Kładąc za dowolny punkt $(x, y)\in C $ punkt $ (x_{0}, y_{o})$ - otrzymujemy tezę twierdzenia.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 83 drukuj