logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4250

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

blackhorseman
postów: 64
2016-01-30 19:13:56

Cześć,
Takie zadanko do sprawdzenia:

Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanym przedziale I: $arctgx^{2}$ I=R
Df=R

$f'(x)=(arctgx^{2})'=\frac{2x}{x^{4}+1}$
$f'(x)=0\iff2x=0\iff x=0$
$f(x)>0\iff2x>0 \iff x>0 \iff x\in(-\infty;0)$
$f(x)<0\iff2x<0 \iff x<0 \iff x\in(0;\infty)$
$f(0)=arctg x^{2} = 0$
$lim_{x\rightarrow-\infty} f(x) = lim_{x\rightarrow-\infty}arctg x^{2} = \frac{\pi}{2}$
$lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = lim_{x\rightarrow \infty}arctg x^{2} = \frac{\pi}{2}$

Odp. Najmniejsza wartość w danym przedziale to 0 a największa to $\frac{\pi}{2}$


tumor
postów: 8085
2016-01-30 19:24:12

Troszkę bałagan.

$f`(x)>0 \iff x>0 \iff x\in (0,\infty)$ co oznacza f rosnącą w tym przedziale

$f`(x)<0 \iff x<0 \iff x\in (-\infty,0)$ co oznacza f malejącą w tym przedziale

Wartość najmniejsza policzona dobrze.
Natomiast największej nie ma. Nie można podać argumentu, dla którego $acrtgx^2=\frac{\pi}{2}$.
Zatem rzeczywiście kresem górnym zbioru wartości byłby punkt $\frac{\pi}{2}$, ale punkt ten do zbioru wartości nie należy.

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-30 19:24:43 przez tumor

blackhorseman
postów: 64
2016-01-30 19:36:59

Dlaczego w takich przypadkach gdy przedziałem są R liczy się granice ? Kiedy można je wziąć pod uwagę ?


tumor
postów: 8085
2016-01-30 19:41:33

Jeśli chcesz wiedzieć, jakim przedziałem będzie zbiór wartości.
Tu będzie to $[0,\frac{\pi}{2})$.




blackhorseman
postów: 64
2016-01-30 19:50:31

Czyli odpowiedź brzmi, że najmniejsza wartość wynosi 0 a największej wartości nie ma ?

A jak to się ma dla przykładu $x^{2}\cdot e^{-x}$ na przedziale R, tam fmin = -0.5 fmax = 0,5, a granice 0.


tumor
postów: 8085
2016-01-30 19:54:15

Jeśli umiesz znaleźć x, dla którego $f(x)=0,5$, to 0,5 może być wartością największą.

Narysuj sobie może wykresy tych funkcji, żeby lepiej zrozumieć?

Ponadto funkcja o wartościach dodatnich na pewno nie ma $fmin=-0,5$, coś kręcisz. ;)


blackhorseman
postów: 64
2016-01-30 20:03:10

Oczywiście, że pokręciłem :). To ma być funkcja $\frac{x}{x^{2}+1}$


tumor
postów: 8085
2016-01-30 20:10:28

Rozumiesz chyba pojęcie zbioru wartości.
To zbiór tych y, dla których istnieje x, że f(x)=y.

Zbiór wartości może być ograniczony (lub ograniczony tylko z góry lub tylko z dołu), wówczas ma on kresy (lub tylko kres górny lub tylko dolny).

Jednocześnie jednak sam kres zbioru może albo do tego zbioru należeć (np gdy zbiorem wartości jest przedział domknięty, jak w $\frac{x}{x^2+1}$),
albo do zbioru nie należeć (np $arctgx$ ma zbiór wartości $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$).

Mówiąc o wartości największej czy najmniejszej mamy na myśli te wartości, które funkcja przyjmuje (czyli należące do zbioru wartości).

Ponadto oczywiście jeśli zbiór ma element największy, to ten element jest też kresem górnym (analogicznie najmniejszy - dolnym). Warunek ten w drugą stronę spełniony być nie musi.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 11 drukuj