logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4253

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

chudek
postów: 39
2016-01-31 00:12:39

$\int_{0}^{1} [\int_{(1-y^2)^\frac{1}{2}}^{1-y}f(x,y)dx]dy$

Jest to przykład od wykładowcy,z pliku tekstowego przepisany bezbłędnie.
Czy na pewno granice są podane prawidłowo? nie powinna być dolna granica dla zmiennej x ujemna(to wyrażenie pod pierwiastkiem)?
Jeśli jest okej,to proszę o wskazówki jak to narysować.
Polecenie to zadania brzmi zmień kolejność całkowania(również zwracam się o rady)


Wiadomość była modyfikowana 2016-01-31 00:14:47 przez chudek

tumor
postów: 8070
2016-01-31 07:39:27

Za dobrą sprawę w całce dolna granica może być mniejsza od górnej granicy, nic temu nie przeczy.

Gdy jednak np liczysz objętość za pomocą takiej całki, to sensowne jest, że dolna granica jest mniejsza niż granica górna.

$x=\sqrt{1-y^2}$ po podniesieniu do kwadratu daje
$x^2=1-y^2$
czyli
$x^2+y^2=1,$ to równanie okręgu. Zapis $x=\sqrt{1-y^2}$ oznacza prawą połowę wykresu okręgu (lub "górną", z perspektywy zmiennej y), a zapis $x=-\sqrt{1-y^2}$ lewą połowę.

Z kolei
$x=1-y$
to prosta
$y=1-x$



chudek
postów: 39
2016-01-31 11:50:46

Więc chcąc opisać ten obszar:
$D:\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-y^2}\le x\le1-y \\ 0\le y\le 1 \end{matrix}\right.$
Nie wiem jakie wnioski wyciągnąć z informacji,które mi podałeś w poście wyżej, co powinienem zrobić w takiej sytuacji? Proszę o dalsze wskazówki, bo na prawdę nadal nie wiem jak rozwiązać taki przykład.
Polecenie jest takie,by zamienić kolejność całkowania


tumor
postów: 8070
2016-01-31 13:05:02

Nic się nie dzieje.
Zachodzi $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^af(x)dx$, więc jeśli nawet wyjdą granice na odwrót, to nie uniemożliwia to praktycznego liczenia. :)

Obszar zatem masz opisany odwrotnie, bo jak widzisz, prosta przechodzi "niżej" niż okrąg.

Tak czy inaczej, do zamiany kolejności całkowania potrzebujesz tych samych krzywych (czyli prostej i okręgu), tylko zapisanych tym razem jako funkcje y(x).
Czyli przekształć wzory tak, by wyliczyć z nich y.


chudek
postów: 39
2016-01-31 16:03:33

Mógłbyś mi pokazać to przekształcenie?


tumor
postów: 8070
2016-01-31 16:26:37

no, będzie skomplikowane.
$y=\sqrt{1-x^2}$
$y=1-x$
$x=0$
$x=1$.

To naprawdę jest to samo równanie okręgu, które się pojawiło w liceum.


chudek
postów: 39
2016-01-31 17:11:35

Czyli całka po zamianie kolejności całkowania wygląda tak:
$\int_{0}^{1}[\int_{\sqrt{1-x^2}}^{1-x} f(x,y) dy]dx$
Proszę mnie poprawić, jeśli się mylę.


tumor
postów: 8070
2016-01-31 17:21:25

ok.

Chodzi o zapisanie tych samych krzywych względem tych innych osi. Czasem, gdy obszar nie jest normalny, trzeba go jeszcze dzielić, ale tu nie było tego kłopotu.




chudek
postów: 39
2016-01-31 17:41:28

Okej,bardzo dziękuję za pomoc

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-31 17:41:37 przez chudek
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 32 drukuj