Analiza matematyczna, zadanie nr 4260

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
chudek postów: 39	2016-01-31 21:16:38 Oblicz całkę: $\int_{}^{}\int_{D}^{} \sqrt{x^2+y^2}dxdy$ $D: \left\{\begin{matrix} y \ge x \\ y \le \sqrt{3}x \\ x^2+y^2 \le 1 \end{matrix}\right.$ Podzieliłem obszar na dwa obszary normalne: $ D_{1}\left\{\begin{matrix} 0 \le x \le\frac{1}{2} \\ x \le y \le \sqrt{3}x \end{matrix}\right. $ $ D_{2}\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} \le x \le\frac{\sqrt{2}}{2} \\ x \le y \le \sqrt{1-x^2} \end{matrix}\right. $ Całka nieoznaczona wyszła mi tyle: $ \int \sqrt{x^2+y^2} dy = \frac{y}{2} * \sqrt{x^2+y^2} + (x^2- \frac{1}{2}) * ln \| y+ \sqrt{y^2+x^2}\|$ I teraz,czy dalsze liczenie ma sens? Czy nie ma łatwiejszego sposoby na rozwiązanie tego zadania?

janusz78 postów: 820	2016-01-31 21:34:26 Obszar $ D $ jest sumą dwóch wycinków koła o promieniu długości $1$ - wykonaj rysunek. Opisujemy go we współrzędnych biegunowych $ B(D) = \left\{ (r, \phi): 0\leq r \leq 1, \frac{\pi}{4}\leq \phi\leq \frac{\pi}{3}\right\}\cup \left\{ (r, \phi): 0\leq r \leq 1, \frac{5\pi}{4}\leq \phi\leq \frac{4\pi}{3}\right\}$ Stąd $\int\int_{(D)}(x^2+y^2)dxdy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\phi \int_{0}^{1}r^3 dr+\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{4\pi}{3}}d\phi \int_{0}^{1}r^3dr=... $ Ze względu na symetrię obszaru $ D $ $ \int\int_{(D)}(x^2+y^2)dxdy = 2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\phi \int_{0}^{1}r^3dr=...$ Wiadomość była modyfikowana 2016-01-31 22:20:27 przez janusz78

chudek postów: 39	2016-02-01 01:00:09 Proszę o wyjaśnienie, dlaczego bierzemy pod uwagę również ten drugi wycinek koła? ( leżący po lewej stronie osi oy)

tumor postów: 8070	2016-02-01 08:05:47 Janusz popełnił w rozwiązaniu kolejne dwa błędy, bo ma ambicję pisać więcej błędów niż postów, a jeszcze mu trochę brakuje. Masz słuszność, chudek, że nierówności opisujące obszar D spełnia tylko ten wycinek, który jest w pierwszej ćwiartce układu. Drugi błąd Janusza polega na przeoczeniu, że funkcją pod całką jest $\sqrt{x^2+y^2}$, a nie $(x^2+y^2)$. Natomiast najłatwiej tę całkę będzie liczyć właśnie przez współrzędne biegunowe. Poradzisz sobie?

chudek postów: 39	2016-02-01 13:26:06 Tak, rozwiązałem,dziękuję Januszowi za wskazówkę oraz tumor,za poprawienie i rozwianie wątpliwości.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj