logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4260

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

chudek
postów: 39
2016-01-31 21:16:38

Oblicz całkę:

$\int_{}^{}\int_{D}^{} \sqrt{x^2+y^2}dxdy$

$D: \left\{\begin{matrix} y \ge x \\ y \le \sqrt{3}x \\ x^2+y^2 \le 1 \end{matrix}\right.$
Podzieliłem obszar na dwa obszary normalne:
$ D_{1}\left\{\begin{matrix} 0 \le x \le\frac{1}{2} \\ x \le y \le \sqrt{3}x \end{matrix}\right. $
$ D_{2}\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} \le x \le\frac{\sqrt{2}}{2} \\ x \le y \le \sqrt{1-x^2} \end{matrix}\right. $
Całka nieoznaczona wyszła mi tyle:
$ \int \sqrt{x^2+y^2} dy = \frac{y}{2} * \sqrt{x^2+y^2} + (x^2- \frac{1}{2}) * ln | y+ \sqrt{y^2+x^2}|$
I teraz,czy dalsze liczenie ma sens? Czy nie ma łatwiejszego sposoby na rozwiązanie tego zadania?


janusz78
postów: 820
2016-01-31 21:34:26

Obszar $ D $ jest sumą dwóch wycinków koła o promieniu długości $1$ - wykonaj rysunek.

Opisujemy go we współrzędnych biegunowych

$ B(D) = \left\{ (r, \phi): 0\leq r \leq 1, \frac{\pi}{4}\leq \phi\leq \frac{\pi}{3}\right\}\cup \left\{ (r, \phi): 0\leq r \leq 1, \frac{5\pi}{4}\leq \phi\leq \frac{4\pi}{3}\right\}$

Stąd

$\int\int_{(D)}(x^2+y^2)dxdy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\phi \int_{0}^{1}r^3 dr+\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{4\pi}{3}}d\phi \int_{0}^{1}r^3dr=... $

Ze względu na symetrię obszaru $ D $

$ \int\int_{(D)}(x^2+y^2)dxdy = 2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\phi \int_{0}^{1}r^3dr=...$

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-31 22:20:27 przez janusz78

chudek
postów: 39
2016-02-01 01:00:09

Proszę o wyjaśnienie, dlaczego bierzemy pod uwagę również ten drugi wycinek koła? ( leżący po lewej stronie osi oy)



tumor
postów: 8070
2016-02-01 08:05:47

Janusz popełnił w rozwiązaniu kolejne dwa błędy, bo ma ambicję pisać więcej błędów niż postów, a jeszcze mu trochę brakuje.

Masz słuszność, chudek, że nierówności opisujące obszar D spełnia tylko ten wycinek, który jest w pierwszej ćwiartce układu.

Drugi błąd Janusza polega na przeoczeniu, że funkcją pod całką jest $\sqrt{x^2+y^2}$, a nie $(x^2+y^2)$.

Natomiast najłatwiej tę całkę będzie liczyć właśnie przez współrzędne biegunowe. Poradzisz sobie?


chudek
postów: 39
2016-02-01 13:26:06

Tak, rozwiązałem,dziękuję Januszowi za wskazówkę oraz tumor,za poprawienie i rozwianie wątpliwości.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj