logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4268

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sabina006
postów: 6
2016-02-03 18:01:06

Pewną partię żywności przeznaczono do długoletniego przechowywania.Wiadomo że po zastosowaniu pewnego środku chemicznego liczba bakterii produkujących toksyny stabilizuje się.Funkcja y=rf(x)opisuje zależność liczby bakterii w 100g produktu od czasu gdzie r>0 jest parametrem charakteryzującym liczbę bakterii.Ilość toksyn produkowanych przez bakterie jest wprost proporcjonalna do liczby bakterii ze współczynnikiem proporcjonalności $ \lambda, \lambda>0 $. Obliczyc jaka ilosc toksyn moze sie maksymalnie zgromadzic w dowolnie dlugim czasie jezeli funkcja y=f(t)jest dana wzorem
a)$f(t)=\frac{1}{t} $
b)$f(t)=\frac{1}{1+t^{2}} $


janusz78
postów: 820
2016-02-04 17:31:49


Z treści zadania wynika, że proces rozmnażania się toksyn produkowanych przez bakterie jest procesem ciągłym.

$ N(t) $ - funkcja ilości toksyn po czasie t

Ilość toksyn po czasie $ t $ opisuje równanie różniczkowe Thomasa Malthusa

$\frac{ N'(t)}{\lambda N(t)} = r f(t).$

$ \frac{N'(t)}{N(t)} = \frac{\lambda}{r}f(t),$

a)

$\frac{N'(t)}{N(t)} = \frac{\lambda}{r}\frac{1}{t},$

b)

$\frac{ N'(t)}{N(t)} = \frac{\lambda}{r}\frac{1}{1+t^2}.$

Po scałkowaniu tych równań

a)

$ N(t) = C \exp\left(\frac{\lambda}{r}ln(t)\right)= Ct^{\frac{\lambda}{r}}.$

b)

$ N(t) = D \exp\left(\frac{\lambda}{r}\arctan (t)\right).$

Stałe $ C,\ \ D $ wyznaczamy z warunku początkowego (dla czasu $ t_{0} $).

Wiadomość była modyfikowana 2016-02-05 09:09:22 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj