logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 427

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kamil241
postów: 1
2012-05-13 22:33:35

Witam,
Mam problem z pokazaniem, iż zbiór potęgowy z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę abelową. Nie wychodzi mi warunek na łączność. Zaczynam tak:
$x\in(A\cup((B \cup C)\backslash(B \cap C)))\backslash(A\cap((B \cup C)\backslash(B \cap C)))\iff x\in(A\cup((B \cup C)\backslash(B \cap C)))\wedge x\notin (A\cap((B \cup C)\backslash(B \cap C)))$
Jeśli ktoś orientuje się w tym temacie to proszę o kontakt. Wtedy mogę wysłać do jakiego punktu doszłam i w czym utkwiłam, bo trochę tego pisania jest.
Dziękuję za pomoc.

Wiadomość była modyfikowana 2012-05-13 22:53:37 przez kamil241

tumor
postów: 8070
2012-09-21 19:38:13

Oznaczmy może działanie różnicy symetrycznej przez $\div$
1. Elementem neutralnym jest zbiór pusty
$\emptyset \div A = A \div \emptyset = (A\backslash\emptyset) \cup (\emptyset\backslash A) = A$

2. Elementem przeciwnym jest dopełnienie. Jeśli $A \in P(X)$, to
$(X\backslash A)\div A = A \div (X\backslash A) = \emptyset\cup\emptyset=\emptyset$

3. Działanie $\div$ jest symetryczne, bo, u licha, jest symetryczne. Na tym polega. Czyli jest przemienne :P

4. Weźmy $Y=(A\backslash(B\cup C)) \cup (B\backslash(A\cup C)) \cup (C\backslash(B\cup A)) \cup (A\cap B\cap C)$

Jeśli $x\in Y$, to albo $x \in (A\cap B\cap C)$, wtedy $x\notin (A\div B)$, $x\notin (B\div C)$, $x\notin (C\div A)$, zatem
$x\in A\div(B\div C)$
$x\in B\div(A\div C)$
$x\in C\div(B\div A)$
albo też $x$ należy do dokładnie jednego ze zbiorów $A, B, C$, z czego także od razu wynika, że
$x\in A\div(B\div C)$
$x\in B\div(A\div C)$
$x\in C\div(B\div A)$

Jeśli $x\notin Y$, to nie należy do żadnego ze zbiorów $A,B,C$, a zatem i do żadnej z powyższych różnic symetrycznych, albo należy do dwóch spośród zbiorów $A,B,C$.
Przyjmijmy, że $x$ należy do $A$ i $B$ (dla innych kombinacji symetrycznie).
$x\in A$ i $x\in (B\div C)$ czyli $x\notin A\div(B\div C)$
analogicznie $x\notin B\div(A\div C)$
oraz $x\notin C$ i $x\notin (A\div B)$, czyli $x\notin C\div(B\div A)$.

Otrzymujemy zatem
$Y=A\div(B\div C)=B\div(A\div C)=C\div(B\div A)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 45 drukuj