Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4294

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
easyrider8355 postów: 12	2016-02-08 18:50:29 prosze o pomoc! oblicz $\int_{}^{} \int_{S}^{} x^2yzdxdy $ po zewnetrznej stronie półkuli gdzie $z= \sqrt{9-x^2-y^2} $ Wiadomość była modyfikowana 2016-02-08 20:17:18 przez easyrider8355

janusz78 postów: 820	2016-02-08 20:12:06 Jaka jest $ S $?

easyrider8355 postów: 12	2016-02-08 20:17:42 edytowane

janusz78 postów: 820	2016-02-08 21:47:03 Całka powierzchniowa zorientowana Element powierzchniowy: $dS = \sqrt{1 +z'^2_{x}+ z'^2_{y}}dxdy.$ $ dS = \sqrt{1 + \left(\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2-y^2}}\right)^2 +\left(\frac{-2y}{2\sqrt{9-x^2-y^2}}\right)^2}dxdy = ...= \frac{3}{\sqrt{9-(x^2+y^2)}}dxdy = =\frac{3}{\sqrt{3^2-r^2}}drd\phi.$ Obszar normalny $(D) $ we współrzędnych biegunowych można zdefiniować: $ D = \left\{0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}; \ \ 0 \leq r\leq 3 \right\}$ $ \int\int_{(S)} x^2 yz dxdy $ symetria $ = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi \int_{0}^{3}r^4cos^2(\phi)\sin(\phi)\sqrt{3^2-r^2}\cdot \frac{3}{\sqrt{3^2 -r^2}}dr= 12 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(\phi)\sin(\phi)d\phi \int_{0}^{3}r^4dr.$ Całka zewnętrzna $\int_{0}^{3}r^4 dr = \frac{1}{5}r^5\|_{0}^{3}= \frac{243}{5}.$ Całkę wewnętrzną obliczamy przez podstawienia: $ t = cos(\phi),\ \ -dt= \sin(\phi)d\phi.$ $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^2(\phi)\sin(\phi)d\phi = \int_{0}^{1}t^2dt = \frac{t^3}{3}\|_{0}^{1}= \frac{1}{3}.$ $ \int\int_{(S)}x^2yzdxdy = \frac{12\cdot 243}{15}=194,4.$ Wiadomość była modyfikowana 2016-02-08 22:07:35 przez janusz78

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj