Teoria mnogości, zadanie nr 4311

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kamwik96 postów: 52	2016-02-14 10:59:55 Niech $f:X\rightarrow Y, A\subset X, B\subset Y$. Określ jakie inkluzje zachodzą pomiędzy zbiorami $f^{-1}[f[A]\cap B]$ oraz $A\cap f^{-1}[B]$. Podaj dowód lub kontrprzykład. Podejrzewam, że będzie to równość (inkluzje w dwie strony). Rozpisuję równoważnie pierwszy zbiór i doszedłem do momentu: $\exists{y}:(\exists{x}:x\in A\wedge y=f(x))\wedge y\in B\wedge y=f(x)$. Jak dalej to rozpisać? Wgl dobrze to mam?

tumor postów: 8070	2016-02-14 11:10:18 $f^{-1}[f[A]\cap B]=\{x: f(x)\in f[A] \wedge f(x) \in B\}$ $A\cap f^{-1}[B]=\{x: x\in A \wedge f(x)\in B\}$ Spróbowałbym jednak zrobić kontrprzykład :)

kamwik96 postów: 52	2016-02-14 11:28:39 Znalazłem chyba kontrprzykład. Wziąłem funkcję $f(x)=x^2$ oraz zbiory $A=[-2,0], B=[0,1]$. Zatem $f^{-1}[f[A]\cap B]=[-1,1]$ oraz $A\cap f^{-1}[B]=[-2,0]$. Czy jest to kontrprzykład do zawierania się w obie strony?

tumor postów: 8070	2016-02-14 11:33:14 $A\cap f^{-1}[B]=[-2,0]\cap [-1,1]=[-1,0]$ Natomiast tak, jest to dobry kontrprzykład. jeśli $x\in A$, to $f(x)\in f[A]$, zatem jedna inkluzja zachodzi. Ale w drugą stronę konieczna nie jest. O wiele prostszym kontrprzykładem jest funkcja stała. Zbiór A dowolny niepusty, byle nie będący całą dziedziną. Zbiór B taki, że należy do niego wartość przyjmowana przez funkcję.

kamwik96 postów: 52	2016-02-14 11:40:48 Czyli dla inkluzji z pierwszego zbioru do drugiego podaję kontrprzykład, a jak zrobić dowód dla inkluzji ze zbioru drugiego do pierwszego?

tumor postów: 8070	2016-02-14 11:46:22 Przecież go napisałem. $x\in A \Rightarrow f(x)\in f[A]$. Więcej nie trzeba, jeśli tylko się te dwa zbiory zapisze tak, jak je zapisałem. W matmie chodzi o to, żeby rozumieć, a dowody były proste. Chcesz to koniecznie rozdłubać na 10 linii wzorów?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj