Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4337

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dagushka postów: 2	2016-02-23 15:25:40 Witam ! Mam bardzo duży problem i bardzo ważną sprawę... Mam na jutro zrobić kilka zadań zaliczeniowych Jedno z nich sprawia mi duży problem, mianowicie chodzi o wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funcji wielu zmiennych f(x,y) = x+ y gdzie obszar to jest x^{2} + y^{2} = 8 Co mam zrobić, skoro pochodne z funkcji wychodzą 1=0. to jest sprzeczność. Czyli nie ma punktów stacjonarnych ? Co zrobić w takim przypadku? Bardzo proszę o pomoc ! :D

tumor postów: 8070	2016-02-23 15:46:27 $ x^2+y^2=8$ to okrąg. Wyznaczmy z tego np y będzie $y=\pm \sqrt{8-x^2}$ wobec tego funkcję da się przedstawić jako dwie funkcje jednej zmiennej x, $g(x)=x\pm \sqrt{8-x^2}$ wtedy $g`(x)=1\pm \frac{-2x}{2\sqrt{8-x^2}}=\frac{2\sqrt{8-x^2}\pm(-2x)}{2\sqrt{8-x^2}}$ Pochodna zeruje się, gdy zeruje się licznik, czyli gdy $2\sqrt{8-x^2}=\pm 2x$ $4(8-x^2)=4x^2$ $8=2x^2$ $x=\pm 2$ oczywiście wtedy także $y=\pm 2$ Ponadto przy tej metodzie skupiliśmy się na punktach, gdzie nasze dwa warianty funkcji g były różniczkowalne, ominęliśmy zatem punkt zerowania się mianownika, czyli $x=\pm \sqrt{8}$, wówczas y=0. Mamy zatem do sprawdzenia punkty $(2,2)$ $(2,-2)$ $(-2,2)$ $(-2,-2)$ $(\sqrt{8},0)$ $(-\sqrt{8},0)$ ------ Próbujesz zapewne podejść do zadania licząc pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. $\frac{df}{dx}=1$ $\frac{df}{dy}=1$ Oczywiście nie ma punktu, dla którego by się obie zerowały, co (wobec różniczkowalności funkcji x+y) mówi nam tyle, że ta funkcja NIE MA ekstremów lokalnych. Brak ekstremów lokalnych nie sprawia jednak, że w zadanym zbiorze funkcja nie ma wartości największej i najmniejszej. W metodzie powyżej zredukowałem zagadnienie dla dwóch zmiennych do zagadnienia dla jednej zmiennej, gdzie mamy kandydatów na ekstrema. Podstawiamy, liczymy wartości dla funkcji, ustalamy, gdzie jest najmniejsza, gdzie największa. Zadanie dało się jeszcze zrobić inaczej, np na geometrię i chłopski rozum, powyższa metoda jest jednak dość uniwersalna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj