Analiza matematyczna, zadanie nr 4344

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
abcdefgh postów: 1255	2016-02-29 14:19:19 Całka Riemanna Stieltjesa udowodnij : a)Jeżeli całki $\int_{a}^{b} fdg $,$\int_{a}^{b} f_{1}dg $ i $\int_{a}^{b} f_{2}dg $ istnieją i c jest stałą, to całki: $\int_{a}^{b} (f_{1}+f_{2})dg = \int_{a}^{b} f_{1}dg+\int_{a}^{b} f_{2}dg$ istneiją oraz Dowód: Załóżmy że istnieją całki $\int_{a}^{b} f_{1}dg $ i $\int_{a}^{b} f_{2}dg $. Istnieje $\pi : a =x_0 < x_1 < ... < x_{n} =b$ oraz pkt pośrednie $\epsilon_{i} \in [x_{i-1},x_{i}]$. L=$\int_{a}^{b} (f_{1}+f_{2})dg = \sum_{n}^{i=1} (f_{1}(\epsilon_{i})+f_{2}(\epsilon_{i}))(g(x_{i})-g(x_{i-1}))...$ P=$\int_{a}^{b} f_{1}dg+\int_{a}^{b} f_{2}dg =\sum_{n}^{i=1} (f_{1}(\epsilon_{i})(g(x_{i})-g(x_{i-1})) + \sum_{n}^{i=1} (f_{2}(\epsilon_{i})(g(x_{i})-g(x_{i-1}))=$ $=\sum_{n}^{i=1}(f_{1}(\epsilon_{i})(g(x_{i})-g(x_{i-1}))+(f_{2}(\epsilon_{i})(g(x_{i})-g(x_{i-1}))=$ $=\sum_{n}^{i=1}((f_{1}(\epsilon_{i})+f_{2}(\epsilon_{i}))(g(x_{i})-g(x_{i-1}))$ czy ten dowód jest ok? Wiadomość była modyfikowana 2016-02-29 14:23:21 przez abcdefgh

tumor postów: 8070	2016-02-29 16:30:54 Intuicyjnie jest ok, ale formalnie nie jest ścisły. Całka nie jest równa sumie. Suma jest wartością przybliżoną. Jeśli przy ciągu podziałów o średnicy malejącej do 0 ciąg sum jest zawsze zbieżny do jednej granicy, to tę granicę nazywamy całką R-S, analogicznie do podobnego przybliżania w całce Riemanna. Zastanów się. Bierzemy teraz inny podział $\pi_1:a=y_0<y_1<...<y_n=b$ przy tym równie dobrze podział może mieć inną liczbę elementów, niech $\gamma_i\in [y_{i-1},y_i]$. Czy wtedy $\sum_{i=1}^nf(\gamma_i)(g(y_i)-g(y_{i-1})= \sum_{i=1}^nf(\epsilon_i)(g(x_i)-g(x_{i-1})$ ? A niby czemu? Dla większości funkcji spełniających definicję całki R-S wciąż łatwo podać podziały, że powyższe sumy równe nie będą. Gdyby to było zadanie rozwiązane u mnie, to uznałbym, że albo symbole są zbędne, jeśli masz zamiar tylko intuicyjnie rozumieć całkę jako sumę (niepoprawnie), a nie jako granicę wspólną dla ciągów sum przy podziałach spełniających określone warunki, albo też że jest niedostatecznie ściśle. W tej formie bym nie zaakceptował, bo jednak znak "=" to równość i nie piszemy go nigdzie tam, gdzie nie ma mowy o równości.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj