Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4356

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
johnatan postów: 2	2016-03-05 21:18:52 Wirus grypy rozprzestrzenia się w grupie 30 studentów zgodnie ze równaniem różniczkowym: dX/dt = k * X(30 - X) gdzie X oznacza liczbę zainfekowanych studentów, a k = 0.01 jest stałą określającą średnią odporność studentów zdrowych na zarażenie się wirusem. Załóżmy, że na początku w grupie było 2 zarażonych studentów X(0) = 2 po jakim czasie t liczonym w dniach zachoruje 80% studentów? Serdecznie proszę o pomoc.

janusz78 postów: 820	2016-03-06 12:13:52 $ \frac{dX}{dt} = 0,01X(30-X), \ \ X\in <2,\ \ 30>$ Równanie o zmiennych rozdzielonych $ \frac{dX}{X(X-30)}= 0,01dt.$ $ \int \frac{dX}{X(X-30)} = \int 0,01dt.$ Rozklad funkcji podcałkowej na sumę ułamków prostych $ \frac{1}{X(30-X)}=\frac{A}{X}+ \frac{B}{30-X}.$ $ A = B = \frac{1}{30}.$ $ \frac{1}{30}\int \frac{dX}{X}+ \frac{1}{30}\int \frac{dX}{30-X}.$ $ \frac{1}{30}ln(X) - \frac{1}{30}ln(30-X) = 0,01t + A.$ $ ln \left(\frac{X}{30-X}\right)= 0,3t +B, \ \ B=30A.$ $ \frac{X}{30-X} = Ce^{0,3t},\ \ C = e^{B}$ - rozwiązanie ogólne Z warunku początkowego obliczamy stałą $ C.$ $ \frac{2}{30-2}= Ce^{0,3\cdot 0}, \ \ C = \frac{1}{14}.$ Rozwiązanie szczególne $ \frac{X}{30-X}= \frac{1}{14}e^{0,03t}.$ $ 0,8 \cdot 30 = 24.$ $ \frac{24}{30-24}= \frac{1}{14} e^{0,3t},$ $ t = \frac{10}{3}ln(56)\approx 13,41 \approx 14.$ Odpowiedź: 80% studentów zachoruje po około 14 dniach. Wiadomość była modyfikowana 2016-03-06 14:28:36 przez janusz78

johnatan postów: 2	2016-03-06 13:27:13 jest źle. ale już znalazłem błąd. w końcówce. 24/(30-24) da 4 i pomnożone przez 14 da 56, a nie 84. dziękuję za pomoc! ostatecznie rozwiązałem chwilę przed pomocą :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj