logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4357

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

szmajhel96
postów: 57
2016-03-06 11:08:33

Wyznacz ekstremum funkcji.
f(x,y)=(6-x-y)$x^{2}y^{2}$

$\frac{'de'f}{'de'x}=-x^{2}y^{2}+2x(6-x-y)y^{2}$

$\frac{'de'f}{'de'y}=-x^{2}y^{2}+2y(6-x-y)x^{2}$

Teraz z tych dwóch wyników pochodnych cząstkowych powinienem utworzyć układ równań ,żeby znaleźć punkty podejrzane o ekstremum. Ale właśnie nie wiem jak rozwiązać taki układ równań... Pomocy!


janusz78
postów: 820
2016-03-06 14:03:51

$ f(x,y)= (6-x-y)x^2y^2, \ \ x,y\in R $

$f'_{|x}(x,y)= -x^2y^2+ (6-x-y)2xy^2 = 0$ (1)

$f'_{|y}(x,y)= -x^2y^2+ (6-x-y)2x^2y = 0$ (2)


Ze względu na symetrię, odejmujemy równania stronami

$(6-x-y)[2xy^2-2x^2y]=0.$

$(x+y =6 )\vee (2xy[ y-x]) = 0.$

$( y= 6-x )\vee (y=x)$

Wstawiając $ y =6-x$ do równań (1), (2) - otrzymujemy

$(x_{1}, y_{1}) = (6,\ \ 0).$

Wstawiając $ y = x $ do równań (1), (2)- otrzymujemy

$( x_{2}, y_{2}) =(2,4,\ \ 2,4)$

Punktem $ (0,\ \ 0)$ - nie interesujemy się.

Znajdź macierz drugiej różniczki i sprawdź jej określoność w punktach $(6,\ \ 0), \ \ (2,4,\ \ 2,4)$




szmajhel96
postów: 57
2016-03-06 16:15:31

Trochę się pogubiłem. Czy ten układ równań ma 3 rozwiązania ? Mnie uczono ,że zanim będę liczyć W(P) muszę obliczyć dalsze pochodne cząstkowe , wtedy liczę W(P) sprawdzam jaki otrzymuje znak , wtedy wiem z jakim ekstremum mam do czynienia. Następnie obliczam fmin lub max podstawiając do wzoru funkcji współrzędne , które otrzymałem z układu równań. Nie miałem jeszcze macierzy.


janusz78
postów: 820
2016-03-06 16:40:59

Badając znak macierzy drugiej różniczki funkcji dwóch zmiennych - badasz znaki $ f"_{xx}(P)$ i wyznacznika $W(P)$ w punktach podejrzanych o ekstrema lokalne. Otrzymujesz te same wyniki.


szmajhel96
postów: 57
2016-03-06 16:46:40

po przez W(P) badam czy jest minimum lokalne czy maximum. Podasz przykład macierzy drugiej różniczki. Bo nie wiem jak to wygląda.


szmajhel96
postów: 57
2016-03-06 16:50:05

chodzi mi o to czy mam liczyc 3 razy ? f(6,0) f(2,4)f(4,2)?


janusz78
postów: 820
2016-03-06 17:36:17


$ D^2(f(x,y) = \left[\begin{matrix}f"_{xx}(x,y)& f"_{xy}(x,y)\\ f"_{yx}(x,y)&f"_{yy}(x,y)\end{matrix}\right].$


szmajhel96
postów: 57
2016-03-06 18:08:28

1.Obliczam pochodne cząstkowe
2. Wyznaczam Wyznacznik W(P) , załóżmy ,że jest on >0.
3. Nasze ekstremum to minimum.
4. Liczę fmin
i chodzi mi czy jak będę liczył fmin to będą to trzy różne wyniki czy jeden wynik?Jeśli jeden to ,które punkty mam podstawić do wzoru mojej funkcji początkowej f?


janusz78
postów: 820
2016-03-06 19:21:06

Policz najpierw poprawnie pochodne cząstkowe rzędu drugiego.


szmajhel96
postów: 57
2016-03-06 19:27:49

Ok juz wiem jak liczyc i o co chodzi. Po prostu my pomijamy macierze i odrazu liczymy wyznacznik od P1...Pn

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj