logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4360

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-03-07 15:35:20

Pokazać, że jeśli funkcja f: [a,b]->R jest ciągła, to również funkcje:

g(x)=$ min_{t \in [a,x]} $ f(t)
h(x)=$ max_{t \in [a,x]} $ f(t)

są ciągłe, Jakie szczególne własności mają te funkcje?


janusz78
postów: 820
2016-03-07 20:21:32

Dowód

Korzystamy z definicji ciągłości funkcji według Augustina Cauchy $(\epsilon-\delta).$

Z założenia funkcja $ f:[a,b]\rightarrow R $ ciągła,
więc dla każdego $\epsilon >0 $ i punktu $t_{0}\in [a,x], \ \ x\leq b $ istnieje $ \delta =\delta(\epsilon, t_{0})$, taka, że dla $|h|< \delta, \ \ |f(t_{0}+h)- f(t_{0}|< \frac{\epsilon}{2}, $

Z tego wynika, że

$ max_{|h|<\delta}|f(t_{0}+h)- f(t_{0})|< \epsilon $(1)

Dla $|h|< \delta $ prawdziwa jest nierówność

$ -max_{|h|<\delta}|f(t_{0}+h)-f(t_{0})|+ g(t_{0})\leq g(t_{0}+h)\leq g(t_{0})+ max_{|h|< \delta}f(t_{0}+h)-f(t_{0})| $ (2)

Z nierówności (1) i (2) otrzymujemy

$ |g(t_{0}+h)-g(t_{0})|<\epsilon$ o ile $ |h|< \delta.$

Podobnie

$ -max_{|h|<\delta}|f(t_{0}+h)-f(t_{0})|+ h(t_{0})\leq h(t_{0}+h)\leq h(t_{0})+ max_{|h|< \delta}f(t_{0}+h)-f(t_{0})| $
i

$ | h(t_{0}+h) -h(t_{0}|<\epsilon $ dla $h < \delta.$

c.b.d.o.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj