Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4363
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| basia9204 postów: 2 |  2016-03-08 16:51:56Witam. Proszę o pomoc w rozwiązaniu układu równania różniczkowego. \left\{\begin{matrix} v1'=v2 \\ v2'=a^2*v1+(1-a^2)*e^x \end{matrix}\right., gdzie v1(0)=0, v2(0)=0. Wiem, że rozwiązanie jest postaci: v1=e^x-cosh(ax)-a^-1*sinh(ax) v2=e^x-a*sinh(ax)-cosh(ax) |
| janusz78 postów: 820 | 2016-03-09 13:54:16 Na podstawie pierwszego równania, stosujemy podstawienie $ v'_{2} = v_{1}" $ w drugim równaniu, otrzymując równanie różniczkowe II rzędu o współczynnikach stałych-niejednorodne $ v_{1}" - a^2v_{1}= (1-a^2)e^{x}.$ Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego $ RORJ$ $ v"_{1} - a^2v_{1} = 0.$ Równanie charakterystyczne $ r^2 - a^2 =0, \ \ r_{1}=-a , r_{2}= a.$ $ RORJ: v_{10}(x) = C_{1}e^{-ax} + C_{2}e^{ax}.$ Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego $ RSRN $ $ v_{1s}= A e^{x}, A\equiv 1.$ Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego $ RORN $ $ RORN = RORJ + RSRN $ $ RORN: v_{1}(x)= C_{1}e^{-ax}+C_{2}e^{ax} + e^{x}.$ (1) Z pierwszego równania układu $ v_{2}(x)= v'_{1}(x) = -aC_{1}e^{-ax}+aC_{2}e^{ax}+e^{x}.$ (2) Uwzględniając warunki początkowe, z równań (1), (2) znajdujemy wartości stałych $ C_{1},\ \ C_{2}.$ $C_{1}e^{-a0}+C_{2}e^{a0} +e^{0}=0,$ $ -aC_{1}e^{-a0}+ aC_{2}e^{a0}+e^{0}=0.$ $C_{1}+ C_{2}= -1,$ (3) $-aC_{1}+aC_{2}=-1,$ (4) Po rozwiązaniu układu (3) (4) $ C_{1}= \frac{-a + 1}{2a}$ (5) $ C_{2}= \frac{-a -1}{2a}$ (6) Podstawiając (5), (6) do (1),(2) $ v_{1}(x)= \frac{-a+1}{2a}e^{-ax}+ \frac{-a-1}{2a}e^{ax} +e^{x}= \left(-\frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}\right)- \frac{1}{a}\left (\frac{e^{ax}-e^{-ax}}{2}\right )+e^{x}=-\cosh(ax)-\frac{1}{a}\sinh(ax)+ e^{x}. $ $v_{2}(x)=\frac{-a(-a+1)}{2a}e^{-ax}+ \frac{a(-a-1)}{2a} e^{ax} + e^{x}=\left(-\frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}\right)-a \left(\frac{e^{ax}-e^{-ax}}{2}\right) +e^{x}= -\cosh(ax)-a\sinh(ax)+e^{x}$ Wiadomość była modyfikowana 2016-03-09 13:56:08 przez janusz78 |
| basia9204 postów: 2 | 2016-03-09 19:09:36 janusz78 dziękuję bardzo za pomoc :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj