Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 4372
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2016-03-10 15:15:34Dane sa pewne zbiory A, B, C w przestrzeni X. Wiemy, ze A $\cap$B = A$\backslash$C. Czy stad wynika, ze A$\cap$C=$\emptyset$? Nie wynika, bo dla A={1, 2}, B={2, 3}, C={1} mamy A $\cap$B={2}= A$\backslash$C, czyli zachodza zalozenia. Natomiast A$\cap$C={1}$\neq$$\emptyset$, czyli teza nie zachodzi. Poprawne rozumowanie? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-10 20:05:22 Tak, nie ma b艂臋d贸w. |
geometria post贸w: 865 | 2016-03-11 22:00:27 Dziekuje. |
geometria post贸w: 865 | 2016-03-12 10:14:05 A czy stad wynika, ze A$\backslash$(B$\cup$C)=$\emptyset$? Chcialbym przeprowadzic dowod nie wprost. Przypuscmy, ze teza nie zachodzi, czyli A$\backslash$(B$\cup$C)$\neq$$\emptyset$. Wiec istnieja elementy wspolne. Jakie kroki poczynic dalej? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-12 14:49:39 istnieje x nale偶膮cy do $A$ oraz nienale偶膮cy do $B\cup C$ W贸wczas oczywi艣cie x nie jest elementem $A\cap B$ (bo nie jest elementem $B$), ale jednocze艣nie x jest elementem $A\backslash C$ (bo jest w $A$ i nie jest w $C$), wobec tego te zbiory nie mog膮 by膰 r贸wne. |
geometria post贸w: 865 | 2016-03-12 16:54:34 Czyli wyszla sprzecznosc z zalozeniem, ze te zbiory sa rowne. Zatem odpowiedzia jest, ze wynika. Ale nie rozumiem tego, ze wyszlo, ze nie sa rowne ale jak ma sie to do elementow wspolnych? Byla potrzeba zakladania, ze teza nie zachodzi? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-12 18:17:17 Jakie elementy wsp贸lne? Je艣li $A\backslash (B\cup C)$ niepusty, to istniej膮 elementy w A, kt贸rych nie ma w C i w B. Doszli艣my do tego, 偶e zbiory $A \cap B$ i $A\backslash C$ nie mog膮 by膰 r贸wne. $p \Rightarrow q$ jest r贸wnowa偶ne $\neg q \Rightarrow \neg p$ zatem skoro zaprzeczyli艣my q i wysz艂o zaprzeczenie p, to r贸wnie dobrze, je艣li przyj臋liby艣my p (to znaczy r贸wno艣膰 zbior贸w z za艂o偶enia w tre艣ci zadania) to otrzymujemy q (czyli $A\backslash (B\cup C)=\emptyset$) |
geometria post贸w: 865 | 2016-03-13 13:10:44 A czy stad wynika, ze A$\cap$B$\cap$C=$\emptyset$? d-d nie wprost Przypuscmy, ze A$\cap$B$\cap$C$\neq$$\emptyset$, czyli istnieje przynajmniej jeden element nalezacy do tego zbioru. Z definicji iloczynu zbiorow mamy, ze x (dowolny) musi nalezec jednoczesnie do wszystkich trzech zbiorow. Ale z zalozenia wiemy, ze element ten nalezy do zbioru A$\cap$B ale nie nalezy do zbioru A$\backslash$C, czyli jest sprzecznosc z zalozeniem, ze te zbiory sa rowne w wyniku czego zbior A$\cap$B$\cap$C bylby pusty (bo element x nie nalezalby do zbioru C) co tez jest sprzeczne z zalozenia o tezie. Zatem wynika zbior A$\cap$B$\cap$C jest pusty. Poprawne rozumowanie? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-13 14:30:22 Tak, jest ok. Mo偶na te偶 wprost. $A\cap B = A\backslash C$ czyli $A \cap B = A\cap C`$ czyli $A \cap B \subset C`$ st膮d ju偶 oczywiste, 偶e $A \cap B \cap C = \emptyset$ |
geometria post贸w: 865 | 2016-03-13 18:02:47 Albo tak A$\cap$B$\cap$C=A$\cap$C\'$\cap$C=A$\cap\emptyset$=$\emptyset$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj