Teoria mnogości, zadanie nr 4372

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-03-10 15:15:34 Dane sa pewne zbiory A, B, C w przestrzeni X. Wiemy, ze A $\cap$B = A$\backslash$C. Czy stad wynika, ze A$\cap$C=$\emptyset$? Nie wynika, bo dla A={1, 2}, B={2, 3}, C={1} mamy A $\cap$B={2}= A$\backslash$C, czyli zachodza zalozenia. Natomiast A$\cap$C={1}$\neq$$\emptyset$, czyli teza nie zachodzi. Poprawne rozumowanie?

tumor postów: 8070	2016-03-10 20:05:22 Tak, nie ma błędów.

geometria postów: 865	2016-03-11 22:00:27 Dziekuje.

geometria postów: 865	2016-03-12 10:14:05 A czy stad wynika, ze A$\backslash$(B$\cup$C)=$\emptyset$? Chcialbym przeprowadzic dowod nie wprost. Przypuscmy, ze teza nie zachodzi, czyli A$\backslash$(B$\cup$C)$\neq$$\emptyset$. Wiec istnieja elementy wspolne. Jakie kroki poczynic dalej?

tumor postów: 8070	2016-03-12 14:49:39 istnieje x należący do $A$ oraz nienależący do $B\cup C$ Wówczas oczywiście x nie jest elementem $A\cap B$ (bo nie jest elementem $B$), ale jednocześnie x jest elementem $A\backslash C$ (bo jest w $A$ i nie jest w $C$), wobec tego te zbiory nie mogą być równe.

geometria postów: 865	2016-03-12 16:54:34 Czyli wyszla sprzecznosc z zalozeniem, ze te zbiory sa rowne. Zatem odpowiedzia jest, ze wynika. Ale nie rozumiem tego, ze wyszlo, ze nie sa rowne ale jak ma sie to do elementow wspolnych? Byla potrzeba zakladania, ze teza nie zachodzi?

tumor postów: 8070	2016-03-12 18:17:17 Jakie elementy wspólne? Jeśli $A\backslash (B\cup C)$ niepusty, to istnieją elementy w A, których nie ma w C i w B. Doszliśmy do tego, że zbiory $A \cap B$ i $A\backslash C$ nie mogą być równe. $p \Rightarrow q$ jest równoważne $\neg q \Rightarrow \neg p$ zatem skoro zaprzeczyliśmy q i wyszło zaprzeczenie p, to równie dobrze, jeśli przyjęlibyśmy p (to znaczy równość zbiorów z założenia w treści zadania) to otrzymujemy q (czyli $A\backslash (B\cup C)=\emptyset$)

geometria postów: 865	2016-03-13 13:10:44 A czy stad wynika, ze A$\cap$B$\cap$C=$\emptyset$? d-d nie wprost Przypuscmy, ze A$\cap$B$\cap$C$\neq$$\emptyset$, czyli istnieje przynajmniej jeden element nalezacy do tego zbioru. Z definicji iloczynu zbiorow mamy, ze x (dowolny) musi nalezec jednoczesnie do wszystkich trzech zbiorow. Ale z zalozenia wiemy, ze element ten nalezy do zbioru A$\cap$B ale nie nalezy do zbioru A$\backslash$C, czyli jest sprzecznosc z zalozeniem, ze te zbiory sa rowne w wyniku czego zbior A$\cap$B$\cap$C bylby pusty (bo element x nie nalezalby do zbioru C) co tez jest sprzeczne z zalozenia o tezie. Zatem wynika zbior A$\cap$B$\cap$C jest pusty. Poprawne rozumowanie?

tumor postów: 8070	2016-03-13 14:30:22 Tak, jest ok. Można też wprost. $A\cap B = A\backslash C$ czyli $A \cap B = A\cap C`$ czyli $A \cap B \subset C`$ stąd już oczywiste, że $A \cap B \cap C = \emptyset$

geometria postów: 865	2016-03-13 18:02:47 Albo tak A$\cap$B$\cap$C=A$\cap$C'$\cap$C=A$\cap\emptyset$=$\emptyset$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj