logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4377

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-03-13 13:27:06

Korzystając z twierdzenia o granicach funkcji monotonicznej f: R->R wykazać, że ma ona co najwyżej przeliczalnie wiele punktów nieciągłości.


tumor
postów: 8070
2016-03-13 14:43:08

Zapewne chodzi o twierdzenie, że w każdym punkcie dziedziny funkcja monotoniczna ma obie granice jednostronne. Oczywiście dla rosnącej funkcji w punkcie nieciągłości oznacza to, że granica lewostronna jest mniejsza od granicy prawostronnej, czyli wyznacza w ten sposób przedział
$(\lim_{x \to x_0-}f(x),\lim_{x \to x_0+}f(x))$
(analogiczny dowód dotyczy funkcji malejącej, tylko oczywiście zamieniają się końce przedziałów)

Przedziałów tej postaci, otwartych i parami rozłącznych, jest oczywiście dokładnie tyle, ile punktów nieciągłości.

No i wystarczy teraz zauważyć, że parami rozłącznych przedziałów otwartych jest na prostej najwyżej przeliczalnie wiele.
(Argumentujemy tak: dla każdego n tylko przeliczalnie wiele przedziałów ma długość z należącą do $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$, bo nieprzeliczalnie wiele takich przedziałów skutkowałoby już brakiem rozłączności. Oczywiście także tylko przeliczalnie wiele przedziałów o długości co najmniej 1 zmieści się na prostej. Sumując po n naturalnych dostajemy przeliczalną sumę zbiorów przeliczalnych, czyli najwyżej przeliczalny zbiór przedziałów.)


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj