Analiza matematyczna, zadanie nr 4377
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
brightnesss postów: 113 | 2016-03-13 13:27:06 Korzystając z twierdzenia o granicach funkcji monotonicznej f: R->R wykazać, że ma ona co najwyżej przeliczalnie wiele punktów nieciągłości. |
tumor postów: 8070 | 2016-03-13 14:43:08 Zapewne chodzi o twierdzenie, że w każdym punkcie dziedziny funkcja monotoniczna ma obie granice jednostronne. Oczywiście dla rosnącej funkcji w punkcie nieciągłości oznacza to, że granica lewostronna jest mniejsza od granicy prawostronnej, czyli wyznacza w ten sposób przedział $(\lim_{x \to x_0-}f(x),\lim_{x \to x_0+}f(x))$ (analogiczny dowód dotyczy funkcji malejącej, tylko oczywiście zamieniają się końce przedziałów) Przedziałów tej postaci, otwartych i parami rozłącznych, jest oczywiście dokładnie tyle, ile punktów nieciągłości. No i wystarczy teraz zauważyć, że parami rozłącznych przedziałów otwartych jest na prostej najwyżej przeliczalnie wiele. (Argumentujemy tak: dla każdego n tylko przeliczalnie wiele przedziałów ma długość z należącą do $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$, bo nieprzeliczalnie wiele takich przedziałów skutkowałoby już brakiem rozłączności. Oczywiście także tylko przeliczalnie wiele przedziałów o długości co najmniej 1 zmieści się na prostej. Sumując po n naturalnych dostajemy przeliczalną sumę zbiorów przeliczalnych, czyli najwyżej przeliczalny zbiór przedziałów.) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj