Analiza matematyczna, zadanie nr 4377
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
brightnesss post贸w: 113 |  2016-03-13 13:27:06Korzystaj膮c z twierdzenia o granicach funkcji monotonicznej f: R->R wykaza膰, 偶e ma ona co najwy偶ej przeliczalnie wiele punkt贸w nieci膮g艂o艣ci. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-13 14:43:08 Zapewne chodzi o twierdzenie, 偶e w ka偶dym punkcie dziedziny funkcja monotoniczna ma obie granice jednostronne. Oczywi艣cie dla rosn膮cej funkcji w punkcie nieci膮g艂o艣ci oznacza to, 偶e granica lewostronna jest mniejsza od granicy prawostronnej, czyli wyznacza w ten spos贸b przedzia艂 $(\lim_{x \to x_0-}f(x),\lim_{x \to x_0+}f(x))$ (analogiczny dow贸d dotyczy funkcji malej膮cej, tylko oczywi艣cie zamieniaj膮 si臋 ko艅ce przedzia艂贸w) Przedzia艂贸w tej postaci, otwartych i parami roz艂膮cznych, jest oczywi艣cie dok艂adnie tyle, ile punkt贸w nieci膮g艂o艣ci. No i wystarczy teraz zauwa偶y膰, 偶e parami roz艂膮cznych przedzia艂贸w otwartych jest na prostej najwy偶ej przeliczalnie wiele. (Argumentujemy tak: dla ka偶dego n tylko przeliczalnie wiele przedzia艂贸w ma d艂ugo艣膰 z nale偶膮c膮 do $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$, bo nieprzeliczalnie wiele takich przedzia艂贸w skutkowa艂oby ju偶 brakiem roz艂膮czno艣ci. Oczywi艣cie tak偶e tylko przeliczalnie wiele przedzia艂贸w o d艂ugo艣ci co najmniej 1 zmie艣ci si臋 na prostej. Sumuj膮c po n naturalnych dostajemy przeliczaln膮 sum臋 zbior贸w przeliczalnych, czyli najwy偶ej przeliczalny zbi贸r przedzia艂贸w.) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj