Algebra, zadanie nr 4379
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pattrycja96 post贸w: 7 |  2016-03-13 16:41:09Hej, biedna studentka pilnie potrzebuje pomocy z algebry :) Niech V b臋dzie przestrzeni膮 wektorow膮 zadan膮 w nast臋puj膮cy spos贸b: V - zbi贸r nast臋puj膮cych funkcji rzeczywistych: f(x)=$a_{0}+\sum_{k=1}^{n}(a_{k}cos(kx)+b_{k}sin(kx))$ gdzie n to liczba naturalna, a $a_{k}$ i $b_{k}$ to liczby rzeczywiste Zadajmy odwzorowanie u: V --> V b臋d膮ce endomorfizmem: f --> u(f), takie, 偶e dla ka偶dego x nale偶膮cego do R (u(f))(x)=f(x+$\frac{\pi}{4}$) Musz臋 pokaza膰, 偶e $u^{8}=id_{V}$, a w odpowiedziach znajduje si臋 wskaz贸wka, 偶eby udowodni膰 rekurencyjnie wz贸r: $(u^{p}(f))(x)$=f(x+p$\frac{\pi}{4}$) I tu zaczyna si臋 m贸j problem :/ Potem korzystaj膮c z tej w艂asno艣ci mam odnale藕膰 Imu i Keru, co r贸wnie偶 nie idzie mi najlepiej. Licz臋 na jak膮kolwiek pomoc i z g贸ry dzi臋kuj臋! |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-13 18:31:25 M艂oda, tu nie ma co robi膰. Z gimnazjum pami臋tamy, 偶e $f(x+\frac{\pi}{4})$ jest przesuni臋ciem wykresu $f(x)$ o $\frac{\pi}{4}$ w lewo, wobec czego 8-krotne przekszta艂cenie w ten spos贸b jest przesuni臋ciem o $2\pi$, a to jest okres (niekoniecznie podstawowy) i funkcji $sin(kx)$ i $cos(kx)$ dla k naturalnego. Wskaz贸wka jest 艂atwa intuicyjnie, ale mo偶emy dowodzi膰 indukcyjnie, 偶e je艣li $(u^{p-1}(f))(x)=f(x+(p-i)\frac{\pi}{4})$ to $(u^{p}(f))(x)=(u(u^{p-1}(f)))(x)=f(x+(p-i)\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4})=f(x+(p)\frac{\pi}{4})$ Oczywi艣cie dla p-1=1 rzecz jest po prostu definicj膮 przekszta艂cenia. Nast臋pne pytania o Im i Ker wymagaj膮 tylko zrozumienia tematu. Je艣li przestrze艅 jest wektorowa i u(f) rzeczywi艣cie jest endomorfizmem (sprawdzi艂a艣?), to skoro kilka z艂o偶e艅 endomorfizmu daje id, to obrazem jest ca艂a przestrze艅 V (bo ka偶dy wektor w V jest obrazem jakiego艣 wektora z V poprzez u, konkretnie, dowolny wektor $f$ jest obrazem $u^7(f)$ poprzez $u$). Mamy zatem odwzorowanie polegaj膮ce (intuicyjnie) na przesuwaniu wykresu (r贸偶nowarto艣ciowe czy nie?). Obrazem jest ca艂a przestrze艅 izomorficzna z wyj艣ciow膮. Jakie jest j膮dro przekszta艂cenia? |
pattrycja96 post贸w: 7 | 2016-03-13 19:40:42 A ja g艂upia pr贸bowa艂am dowodzi膰 to z艂o偶enie z tym przera偶aj膮cym wzorem f :O Tak tak, wszystko sprawdzone i na dodatek teraz ju偶 jasne - Dzi臋ki wielkie :D P.S. J膮dro to oczywi艣cie zbi贸r z艂o偶ony z wektora zerowego ;) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj