Algebra, zadanie nr 4379

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pattrycja96 postów: 7	2016-03-13 16:41:09 Hej, biedna studentka pilnie potrzebuje pomocy z algebry :) Niech V będzie przestrzenią wektorową zadaną w następujący sposób: V - zbiór następujących funkcji rzeczywistych: f(x)=$a_{0}+\sum_{k=1}^{n}(a_{k}cos(kx)+b_{k}sin(kx))$ gdzie n to liczba naturalna, a $a_{k}$ i $b_{k}$ to liczby rzeczywiste Zadajmy odwzorowanie u: V --> V będące endomorfizmem: f --> u(f), takie, że dla każdego x należącego do R (u(f))(x)=f(x+$\frac{\pi}{4}$) Muszę pokazać, że $u^{8}=id_{V}$, a w odpowiedziach znajduje się wskazówka, żeby udowodnić rekurencyjnie wzór: $(u^{p}(f))(x)$=f(x+p$\frac{\pi}{4}$) I tu zaczyna się mój problem :/ Potem korzystając z tej własności mam odnaleźć Imu i Keru, co również nie idzie mi najlepiej. Liczę na jakąkolwiek pomoc i z góry dziękuję!

tumor postów: 8070	2016-03-13 18:31:25 Młoda, tu nie ma co robić. Z gimnazjum pamiętamy, że $f(x+\frac{\pi}{4})$ jest przesunięciem wykresu $f(x)$ o $\frac{\pi}{4}$ w lewo, wobec czego 8-krotne przekształcenie w ten sposób jest przesunięciem o $2\pi$, a to jest okres (niekoniecznie podstawowy) i funkcji $sin(kx)$ i $cos(kx)$ dla k naturalnego. Wskazówka jest łatwa intuicyjnie, ale możemy dowodzić indukcyjnie, że jeśli $(u^{p-1}(f))(x)=f(x+(p-i)\frac{\pi}{4})$ to $(u^{p}(f))(x)=(u(u^{p-1}(f)))(x)=f(x+(p-i)\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4})=f(x+(p)\frac{\pi}{4})$ Oczywiście dla p-1=1 rzecz jest po prostu definicją przekształcenia. Następne pytania o Im i Ker wymagają tylko zrozumienia tematu. Jeśli przestrzeń jest wektorowa i u(f) rzeczywiście jest endomorfizmem (sprawdziłaś?), to skoro kilka złożeń endomorfizmu daje id, to obrazem jest cała przestrzeń V (bo każdy wektor w V jest obrazem jakiegoś wektora z V poprzez u, konkretnie, dowolny wektor $f$ jest obrazem $u^7(f)$ poprzez $u$). Mamy zatem odwzorowanie polegające (intuicyjnie) na przesuwaniu wykresu (różnowartościowe czy nie?). Obrazem jest cała przestrzeń izomorficzna z wyjściową. Jakie jest jądro przekształcenia?

pattrycja96 postów: 7	2016-03-13 19:40:42 A ja głupia próbowałam dowodzić to złożenie z tym przerażającym wzorem f :O Tak tak, wszystko sprawdzone i na dodatek teraz już jasne - Dzięki wielkie :D P.S. Jądro to oczywiście zbiór złożony z wektora zerowego ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj