logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 438

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

bratola
postów: 4
2012-05-25 11:04:54

Potrzebuje pomocy do zadania:
Oblicz, jaką maksymalną część objętości kuli może zajmować wpisany w nią ostrosłup prawidłowy czworokątny.


tumor
postów: 8070
2012-10-11 21:57:08

Niech $R$ - promień kuli
Objętość kuli to oczywiście $\frac{4}{3}\pi R^3$

Oznaczmy przez $H$ wysokość ostrosłupa, przez $L$ jego krawędź boczną, przez $A$ krawędź podstawy, przez $\alpha$ kąt między $H$ a $L$.

$\frac{L}{2R}=cos\alpha$
$L=2Rcos\alpha$
$\frac{H}{L}=cos\alpha$
$H=Lcos\alpha=2Rcos^2\alpha$
$\frac{\frac{A\sqrt{2}}{2}}{L}=\frac{A}{\sqrt{2}L}=sin\alpha$
$A=\sqrt{2}Lsin\alpha$
$A^2=2L^2sin^2\alpha=8R^2sin^2\alpha cos^2\alpha$

Objętość ostrosłupa to $\frac{1}{3}A^2H=\frac{1}{3}8R^2sin^2\alpha cos^2\alpha*2Rcos^2\alpha=\frac{16}{3}R^3(1-cos^2\alpha)cos^4\alpha$

Niech $y=cos^2\alpha$, $0<y<1$

$(1-y)y^2$ ma maksimum w $y=\frac{2}{3} $ równe $ \frac{4}{27}$

Wówczas objętość ostrosłupa wynosi $\frac{16}{3}R^3*\frac{4}{27}=
\frac{4}{3}R^3\frac{16}{27}$

Objętość ostrosłupa stanowi maksymalnie $\frac{16}{27\pi}$ objętości kuli.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj