Geometria, zadanie nr 439

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
bratola postów: 4	2012-05-25 12:25:21 Wyznacz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego m-kątnego, w którym promienie okręgów opisanych na ścianach bocznych i na podstawie ostrosłupa mają długość r.

tumor postów: 8070	2012-10-02 14:31:51 O jakie ładne zadanie. Popatrzmy na podstawę. $m$-kąt foremny, składający się z m trójkątów równoramiennych o ramionach długości $r$ i kącie rozwarcia $\alpha=\frac{2\pi}{m}$ Pole podstawy to $A=mr^2\frac{1}{2}sin\alpha$ Z twierdzenia cosinusów wyliczamy bok podstawy $x=r\sqrt{2(1-cos\alpha)}$ Teraz popatrzmy na ścianę boczną. Jest to trójkąt równoramienny o podstawie $x$, dorysujmy sobie promienie okręgu opisanego do wszystkich wierzchołków. Podzieliliśmy trójkąt na trzy trójkąty równoramienne, kąt rozwarcia jednego to $\alpha$, dwa pozostałe trójkąty sa identyczne, więc ich kąty to $\beta=\pi-\frac{\alpha}{2}$. Ramię ściany bocznej możemy policzyć z twierdzenia cosinusów, $y=r\sqrt{2(1-cos\beta)}$ Powierzchnia ściany bocznej to $B=r^2\frac{1}{2}sin\alpha+2\frac{1}{2}r^2sin\beta$ Z Twierdzenia Pitagorasa wysokość ostrosłupa $H=\sqrt{y^2+r^2}$ No i wszystko. :) Pole całkowite to $A+mB$ Objętość to $\frac{1}{3}AH$. Pozwalam sobie nie podstawiać, bo ostateczny wzór mały nie będzie, a chętny przecież da radę wstawić. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj