logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 439

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

bratola
postów: 4
2012-05-25 12:25:21

Wyznacz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego m-kątnego, w którym promienie okręgów opisanych na ścianach bocznych i na podstawie ostrosłupa mają długość r.


tumor
postów: 8070
2012-10-02 14:31:51

O jakie ładne zadanie.

Popatrzmy na podstawę. $m$-kąt foremny, składający się z m trójkątów równoramiennych o ramionach długości $r$ i kącie rozwarcia $\alpha=\frac{2\pi}{m}$
Pole podstawy to $A=m*r^2*\frac{1}{2}sin\alpha$

Z twierdzenia cosinusów wyliczamy bok podstawy
$x=r\sqrt{2(1-cos\alpha)}$

Teraz popatrzmy na ścianę boczną. Jest to trójkąt równoramienny o podstawie $x$, dorysujmy sobie promienie okręgu opisanego do wszystkich wierzchołków. Podzieliliśmy trójkąt na trzy trójkąty równoramienne, kąt rozwarcia jednego to $\alpha$, dwa pozostałe trójkąty sa identyczne, więc ich kąty to $\beta=\pi-\frac{\alpha}{2}$.
Ramię ściany bocznej możemy policzyć z twierdzenia cosinusów,
$y=r\sqrt{2(1-cos\beta)}$
Powierzchnia ściany bocznej to
$B=r^2*\frac{1}{2}sin\alpha+2*\frac{1}{2}r^2sin\beta$

Z Twierdzenia Pitagorasa wysokość ostrosłupa $H=\sqrt{y^2+r^2}$

No i wszystko. :)
Pole całkowite to $A+mB$
Objętość to $\frac{1}{3}AH$.

Pozwalam sobie nie podstawiać, bo ostateczny wzór mały nie będzie, a chętny przecież da radę wstawić. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 48 drukuj