logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4394

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-03-16 13:16:10

Załózmy, ze A, B, C i D sa niepustymi zbiorami.
a) Pokaz, ze jesli A$\times$B=C$\times$D, to A=C i B=D.
b) Czy z tego, ze (A$\times$B)$\cap$(C$\times$D) =$\emptyset$ wynika, ze A $\cap$ C = $\emptyset$ i B $\cap$ D =$\emptyset$ ?
c) Czy z tego, ze (A $\times$B)  $\subseteq$(C $\times$ D) wynika, ze A $\subseteq$ C i B $\subseteq$ D?

Czy zalozenie niepustosci jest potrzebne?

a)
Niech A={$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$}
B={$b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{m}$}
C={$c_{1},c_{2},c_{3},...,c_{p}$}
D={$d_{1},d_{2},d_{3},...,d_{r}$}.
Mamy:
A$\times$B={<$a_{1},b_{1}$>, <$a_{1},b_{2}$>, ..., <$a_{n},b_{m}$>}
C$\times$D={<$c_{1},d_{1}$>, <$c_{1},d_{2}$>, ..., <$c_{p},d_{r}$>}
Dwa zbiory sa rowne jesli maja te same elementy. Zatem
<$a_{1},b_{1}$>=<$c_{1},d_{1}$>
<$a_{1},b_{2}$>=<$c_{1},d_{2}$>
.
.
<$a_{n},b_{m}$>=<$c_{p},d_{r}$>
Para uporzadkowana jest rowna gdy odpowiednie wspolrzedne ma rowne.
Zatem
$a_{1}=c_{1}$ i $b_{1}=d_{1}$
.
.
$a_{n}=c_{p}$ i $b_{m}=d_{r}$
Zatem el. zbioru A sa takie same jak el. zb. C oraz el. zb. B sa takie same jak el. zb. D.
Stad A=C i B=D.
b)
(A$\times$B)$\cap$(C$\times$D) =(A$\cap$C)$\times$(B$\cap$D)
Nie wynika, bo zeby (A$\times$B)$\cap$(C$\times$D) byl pusty wystarczy aby jeden ze zbiorow
A$\cap$C, B$\cap$D byl pusty. (nie musza byc jednoczesnie puste, ale moga).
----------------
d-d nie wprost
Zal. ze A$\cap$C$\neq$$\emptyset$ lub B$\cap$D$\neq$$\emptyset$.
Zatem zbiory A, B, C, D sa niepuste.
Wiec A$\times$B$\neq$$\emptyset$ i
C$\times$D$\neq$$\emptyset$.
nie ma sprzecznosci, bo z tego ze zbiory sa niepuste nie wynika, ze ich iloczyn jest niepusty.(czyli nie doprowadzilo to do udowodnienia)
c) Ustalmy dowolnego x$\in$A i dowolnego y$\in$B oraz niech $<$x,y$>$ bedzie dowolna uporzadkowana para.
Zatem z zalozenia mamy, ze jesli $<$x,y$>$$\in$A$\times$B, to $<$x,y$>$$\in$C$\times$D
Wiec x$\in$A to x$\in$C oraz y$\in$B to y$\in$D. Czyli A$\subseteq$C i B$\subseteq$D.

Poprawne rozumowania?


tumor
postów: 8070
2016-03-16 13:54:49

a)
Założenie niepustości jest tu potrzebne. Na przykład niech $A=D=\emptyset$ oraz $B=C\neq \emptyset$.
Wówczas $A\times B=C\times D$, a jednak nie jest prawdą, że $A=C$.

W dowodzie masz niedokładności. Pierwsza polega na założeniu, że skoro zbiory są równe, to pierwszy element jest równy pierwszemu. Na przykład, że $a_1=c_1$. A skąd wiesz, że nie jest $a_1=c_3$ i $c_1=a_3$? :) Równości zbiorów to nie zaprzeczy. Samodzielnie uporządkowałeś zbiory, między innymi A i C, ale nie wiadomo, dlaczego, jeśli nawet zbiory te są równe, to i porządki na nich mają być równe. Dla n elementów istnieje n! porządków liniowych (każda permutacja).
Druga niedokładność polega na wprowadzeniu założenia, że zbiory są skończone. W zadaniu widzę, że są niepuste. Skąd pomysł, że są skończone? To dość znacząco obcina zakres stosowania twierdzenia.

Raczej się musisz nauczyć operowania na zbiorach nieskończonych.

b) Argumentacja w większości ok. Uwagę mam do linii
"zatem zbiory A,B,C,D są niepuste". Są, bo tak masz w założeniu zadania. Nie wynika to jednak z linii wcześniej, bo linia wcześniej jest alternatywą i wiesz tylko, że A,C niepuste lub B,D niepuste, ale nie masz na tej podstawie pewności, że wszystkie cztery niepuste.

c)ok



geometria
postów: 863
2016-03-19 15:03:35

To jakby wygladal dowod dla a)?


tumor
postów: 8070
2016-03-19 17:22:15

Najkrócej nie wprost.
Przyjmujemy, że na przykład $A\backslash C \neq 0$ (bo z uwagi na symetrię nieważne, które dwa zbiory nie będą równe i które różnice będą niepuste, wystarczy, że jedna).

Zatem $x\in A\backslash C$, natomiast $B,C,D$ niepuste.
Niech $y\in B$.

Na pewno $<x,y> \in A\times B$, na pewno $<x,y>\notin C\times D$


Wiadomość była modyfikowana 2016-03-19 17:22:30 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj