Analiza matematyczna, zadanie nr 4401
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
olaprosto post贸w: 40 |  2016-03-18 10:55:011. Rozwin膮膰 funkcj臋 f(x)=|sin x |w szereg Fouriera. 2. Rozwin膮膰 funkcje f(x) = $\frac{1}{-2x^2 +x+1}$ w szereg Maclaurina w otoczeniu punktu x0=0 |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-03-21 15:14:57 1. Dana funkcja jest parzysta, wobec tego wszystkie wsp贸艂czynniki $ b_{n}$( z sinusami) s膮 r贸wne $ 0$. W przedziale $ [ 0, \pi]$ funkcja jest okre艣lona wzorem $ y = sin(x),$ a wi臋c $a_{n}= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} sin(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}[\sin(1+n)x + \sin(1-n)x]dx=\frac{1}{\pi}[ \frac{cos(1+n)}{1+n} + \frac{cos(1-n)}{1-n}]_{\pi}^{0}= \frac{1}{\pi}[\frac{1-\cos[(1+n)\pi]}{1+n}+\frac{1-\cos[(1-n)\pi]}{1-n}]. $ Je艣li $ n$ jest parzyste $ (n = 2k),$ to $ cos[(1+n)\pi] =-1 $ i $ a_{n}= \frac{4}{\pi(1-4k^2)}.$ Je艣li za艣 $ n $ jest nieparzyste, przy czym $ n\neq 1$ to $ a_{n}= 0.$ Dla $ n=1 $ wsp贸艂czynnik $ a_{1}$ obliczamy oddzielnie $a_{1}= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(x)\cos(x)dx= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}sin(x)d(sin(x))= [\frac{\sin^2(x)}{\pi}]_{0}^{\pi}= 0.$ Podstawiaj膮c obliczone warto艣ci wsp贸艂czynnik贸w do szeregu otrzymujemy szukane rozwini臋cie $|sin(x)| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}[ \frac{cos(2x)}{1\cdot 3}+ \frac{\cos(4x)}{3\cdot 5} + \frac{\cos(6x)}{5\cdot 7} +...+ \frac{cos(2kx)}{(2k-1)(2k+1)}+...] = \frac{2}{\pi}- \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(2nx)}{(2n-1)(2n+1)}$ dla $ x\in [-\pi, \pi].$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-03-21 15:22:58 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj