logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4401

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

olaprosto
postów: 40
2016-03-18 10:55:01

1. Rozwinąć funkcję f(x)=|sin x |w szereg Fouriera.
2. Rozwinąć funkcje f(x) = $\frac{1}{-2x^2 +x+1}$ w szereg Maclaurina w otoczeniu punktu x0=0


janusz78
postów: 820
2016-03-21 15:14:57


1.

Dana funkcja jest parzysta, wobec tego wszystkie współczynniki $ b_{n}$( z sinusami) są równe $ 0$.

W przedziale $ [ 0, \pi]$ funkcja jest określona wzorem

$ y = sin(x),$

a więc

$a_{n}= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} sin(x)\cos(nx)dx =
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}[\sin(1+n)x + \sin(1-n)x]dx=\frac{1}{\pi}[ \frac{cos(1+n)}{1+n} + \frac{cos(1-n)}{1-n}]_{\pi}^{0}=
\frac{1}{\pi}[\frac{1-\cos[(1+n)\pi]}{1+n}+\frac{1-\cos[(1-n)\pi]}{1-n}]. $

Jeśli $ n$ jest parzyste $ (n = 2k),$ to $ cos[(1+n)\pi] =-1 $ i $ a_{n}= \frac{4}{\pi(1-4k^2)}.$

Jeśli zaś $ n $ jest nieparzyste, przy czym $ n\neq 1$ to $ a_{n}= 0.$

Dla $ n=1 $ współczynnik $ a_{1}$ obliczamy oddzielnie

$a_{1}= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(x)\cos(x)dx= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}sin(x)d(sin(x))= [\frac{\sin^2(x)}{\pi}]_{0}^{\pi}= 0.$

Podstawiając obliczone wartości współczynników do szeregu otrzymujemy szukane rozwinięcie

$|sin(x)| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}[ \frac{cos(2x)}{1\cdot 3}+ \frac{\cos(4x)}{3\cdot 5} + \frac{\cos(6x)}{5\cdot 7} +...+ \frac{cos(2kx)}{(2k-1)(2k+1)}+...] = \frac{2}{\pi}- \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(2nx)}{(2n-1)(2n+1)}$
dla
$ x\in [-\pi, \pi].$

Wiadomość była modyfikowana 2016-03-21 15:22:58 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj