Analiza matematyczna, zadanie nr 4405

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pattrycja96 postów: 7	2016-03-19 15:12:55 Potrzebuję pomocy w policzeniu pewnej całki: ;) $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+\sqrt[2]{x^2-x+1})^2}$

janusz78 postów: 820	2016-03-30 21:13:19 $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+\sqrt{x^2-x+1})^2}dx = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-x+1}} \right)\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-x+1}}\right)dx$ $\sqrt{x^2-x+1}= t-x, \ \ x=\frac{t^{2}-1}{2t-1}, \ \ dx= 2\frac{t^2-t+1}{(2t-1)^{2}}.$ $ t = x +\sqrt{x^2-x+1}.$ $ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+\sqrt{x^2-x+1})^2}dx = \int_{1}^{\infty} \left( \frac{2t^2-2t+2}{t(2t-1)^2}\right)\left( \frac{2t^2-2t+2}{t(2t-1)^2}\right)dt= \int_{1}^{\infty}\left(\frac{2}{t}-\frac{3}{2t-1}+\frac{3}{(2t-1)^2}\right)\left(\frac{2}{t}-\frac{3}{2t-1}+\frac{3}{(2t-1)^2}\right)dt. $ $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+\sqrt{x^2-x+1})^2}dx =\int_{1}^{\infty}\left(\frac{4}{t^2}-\frac{12}{t(2t-1)}+\frac{12}{t(2t-1)^2}+\frac{9}{(2t-1)^2}-\frac{18}{(2t-1)^3}+\frac{9}{(2t-1)^4}\right)dt.$ Po ponownym rozłożeniu drugiego i trzeciego składnika sumy, na ułamki proste, uproszczeniu, wykonaniu całkowania i przejściu do granicy, otrzymamy $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+\sqrt{x^2-x+1})^2}dx= 5-6ln(2).$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj