Analiza matematyczna, zadanie nr 4408

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sudent1234 postów: 15	2016-03-19 22:13:46 Dowieść, że jeżeli x,y,z$\in$ <$\pi/4, \pi/2$) to zachodzi nierówność $(tg(x+y+z))^3$$\le$tgx$\cdot$tgy$\cdot$tgz

tumor postów: 8070	2016-03-21 09:33:38 Wiemy, że $tg$ jest rosnący przedziałami oraz $tg(x)=tg(x+\pi)$ Oznaczmy $a=y+z$ wtedy $a\in <\frac{\pi}{2},\pi)$ Jeśli ponadto $x\in <\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$, to jesteśmy w obrębie jednego przedziału tangensa, bo $\frac{\pi}{2}< x+\alpha < x+\pi <\frac{3}{2}\pi$ Stąd, skoro $tg$ rosnący $tg(x+a)<tg(x+\pi)=tg(x)$. Ponadto $tg(x)$ dodatni, nie mniejszy niż 1. Czyli $tg(x+y+z)< tg(x)$ $tg(x+y+z)< tg(y)$ $tg(x+y+z)< tg(z)$ i wolno nam pomnożyć stronami wszystkie trzy nierówności, bo lewa strona albo jest ujemna (do trzeciej potęgi wciąż będzie, nierówność spełniona), albo 0 (podobnie), albo dodatnia (wówczas możemy mnożyć stronami tak se po prostu). Wiadomość była modyfikowana 2016-03-21 09:59:27 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj