Analiza matematyczna, zadanie nr 4409
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
brightnesss postów: 113 | 2016-03-20 16:30:18 Niech $ x_{n} $ będzie ciągiem zawierającym wszystkie liczby wymierne i każdą tylko jeden raz. Określamy na R funkcje: f(x)=$ \sum_{ x_{n} < x } 2^{-n} $ g(x)=$ \sum_{ x_{n} \le x } 2^{-n} $ 1) Wykaż że są ciągłe w punktach niewymiernych, nieciągłe w punktach wymiernych 2) Opisać granice jednostronne tych funkcji w punktach nieciągłości 3) Wyznaczyć granice tych funkcji w $ \infty i - \infty $ |
tumor postów: 8070 | 2016-03-20 16:58:35 3) nie powinno tu być problemu. Co będzie, jak dodasz wszystkie potęgi 2 o wykładnikach całkowitych ujemnych? Bezwzględna zbieżność szeregu w pewnej szczególnej kolejności pozwala wnioskować, że dowolna zmiana kolejności nie wpłynie na sumę. Oczywiście ściślej trzeba będzie istnienie granicy pokazać, ale zasadniczo rozwiązujemy intuicyjnie. 2) Jeśli opiszemy granice jednostronne w dowolnym punkcie, to załatwiony będzie punkt 1), więc tak naprawdę wystarczy ten podpunkt nieco poszerzyć. Sednem rozwiązania jest zauważenie, że jeśli x jest wymierny, to znaczy odpowiada mu pewna wartość $x_k$, to wszystkie wartości f(y) dla y<x będą mniejsze co najmniej o $2^{-k}$ od wartości f(y) dla y>x. Wobec tego granica lewostronna, o ile istnieje (a istnieje, tylko dlaczego?) musi być co najmniej o $2^{-k}$ mniejsza od granicy prawostronnej, o ile i ta istnieje (a istnieje? dlaczego?). Różnicy tej nie będzie przy x niewymiernych. Tu zbliżając się do x z lewej/prawej strony zbliżamy się do tych samych wartości sumy. Co oczywiście ściślej należy zapisać. Czy Twoja intuicja chwyta, dlaczego tak będzie? :) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj