logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4409

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2016-03-20 16:30:18

Niech $ x_{n} $ będzie ciągiem zawierającym wszystkie liczby wymierne i każdą tylko jeden raz. Określamy na R funkcje:

f(x)=$ \sum_{ x_{n} < x } 2^{-n} $

g(x)=$ \sum_{ x_{n} \le x } 2^{-n} $

1) Wykaż że są ciągłe w punktach niewymiernych, nieciągłe w punktach wymiernych
2) Opisać granice jednostronne tych funkcji w punktach nieciągłości
3) Wyznaczyć granice tych funkcji w $ \infty i - \infty $


tumor
postów: 8070
2016-03-20 16:58:35

3) nie powinno tu być problemu.
Co będzie, jak dodasz wszystkie potęgi 2 o wykładnikach całkowitych ujemnych?
Bezwzględna zbieżność szeregu w pewnej szczególnej kolejności pozwala wnioskować, że dowolna zmiana kolejności nie wpłynie na sumę.

Oczywiście ściślej trzeba będzie istnienie granicy pokazać, ale zasadniczo rozwiązujemy intuicyjnie.

2) Jeśli opiszemy granice jednostronne w dowolnym punkcie, to załatwiony będzie punkt 1), więc tak naprawdę wystarczy ten podpunkt nieco poszerzyć.
Sednem rozwiązania jest zauważenie, że jeśli x jest wymierny, to znaczy odpowiada mu pewna wartość $x_k$, to wszystkie wartości f(y) dla y<x będą mniejsze co najmniej o $2^{-k}$ od wartości f(y) dla y>x.
Wobec tego granica lewostronna, o ile istnieje (a istnieje, tylko dlaczego?) musi być co najmniej o $2^{-k}$ mniejsza od granicy prawostronnej, o ile i ta istnieje (a istnieje? dlaczego?).

Różnicy tej nie będzie przy x niewymiernych. Tu zbliżając się do x z lewej/prawej strony zbliżamy się do tych samych wartości sumy.
Co oczywiście ściślej należy zapisać. Czy Twoja intuicja chwyta, dlaczego tak będzie? :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj