Geometria, zadanie nr 4410
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
matemaniak post贸w: 2 |  2016-03-20 22:49:46Dzie艅 dobry. Prosz臋 o pomoc z zadaniem. Tre艣膰 zadania: Udowodnij, 偶e w przedziale domkni臋tym [0,1] znajduje si臋 tyle samo liczb, co liczb rzeczywistych ([0,1]~Liczby Rzeczywiste) . Kompletnie nie wiem jak do tego podej艣膰. Nauczyciel podpowiedzia艂 nam, 偶e ma to zwi膮zek z \"BIJEKCJ膭\" oraz \"R脫WNOLICZNO艢CI膭 LICZB\". Nie mog臋 znale藕膰 w internecie niczego sensownego, wi臋c prosz臋 o pomoc tutaj. By艂bym wdzi臋czny o prost膮 odpowied藕. Dzi臋kuj臋! |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-21 08:18:26 W momencie gdy chcesz 艣ciemnia膰, 偶e nie mo偶esz czego艣 znale藕膰, musisz mie膰 rozeznanie, co 艂atwo znale藕膰, a co trudno. To akurat bardziej ni偶 艂atwo. Wikipedia ma odpowiednie rzeczy. Kursy na stronie co najmniej dziesi臋ciu uczelni (to tylko pocz膮tek wynik贸w z google). To forum ma podobne zadania z obja艣nieniami. Forum konkurencyjne te偶 ma. Na youtube s膮 odpowiednie filmy, po polsku. Nawet osiedlowe biblioteki maj膮 podr臋czniki, w kt贸rych to poj臋cie znajdziesz. Szukasz matematyki, bierzesz grub膮 ksi膮偶k臋 \"wst臋p do...\" albo \"podstawy...\" albo z jakiej艣 kilkutom贸wki tom pierwszy, patrzysz w indeksie, czy jest \"r贸偶nowarto艣ciowo艣膰\", \"bijekcja\", \"r贸wnoliczno艣膰\" i w wielu jest. A jak jeszcze by艣 wiedzia艂, kt贸re tematy maj膮 zwi膮zek z teori膮 mnogo艣ci, to by艂oby jeszcze 艂atwiej. Zatem wybacz, ale lepiej by艂o tej 艣ciemy o przeszukaniu internet贸w nie rzuca膰. Osoby, kt贸re znaj膮 pewne odpowiedzi, lepiej sobie zdaj膮 spraw臋, 偶e s膮 to 艂atwe odpowiedzi i nie 艂ykaj膮, po prostu, tego \"uczy艂em si臋 ca艂y dzie艅 i teraz z nerw贸w zapomnia艂em\" czy \"siedzia艂em nad tym ale nic nie wymy艣li艂em\". ---- Dla zbior贸w sko艅czonych poj臋cie \"tyle samo element贸w\" jest do艣膰 oczywiste. Na przyk艂ad w jednym osiem i w drugim osiem. Dla dowolnych zbior贸w nie m贸wi si臋 \"tyle samo element贸w\", m贸wi si臋, 偶e zbiory s膮 r贸wnoliczne. Jest to pewne uog贸lnienie poj臋cia \"tyle samo element贸w\". Przy tym dwa zbiory, kt贸re maj膮 po osiem element贸w, te偶 s膮 r贸wnoliczne. Bijekcja to funkcja r贸偶nowarto艣ciowa (czyli: ka偶dym dw贸m r贸偶nym argumentom odpowiadaj膮 r贸偶ne warto艣ci) i \"na\" (czyli: ka偶dy element przeciwdziedziny nale偶y do zbioru warto艣ci). R贸wnoliczno艣膰 dw贸ch zbior贸w sprawdzamy istnieniem bijekcji. Na przyk艂ad zbi贸r liczb naturalnych $N=\{0,1,2,3,4,...\}$ i zbi贸r liczb naturalnych parzystych $Par=\{0,2,4,6,8,...\}$ to zbiory r贸wnoliczne. Istnieje bowiem bijekcja. Tak naprawd臋 bijekcji jest tu niesko艅czenie wiele r贸偶nych, ale naj艂atwiej poda膰: $f:N\to Par$ $f(n)=2n$. Sprawdzamy, 偶e jest to funkcja r贸偶nowarto艣ciowa (jest) i 偶e jest \"na\" (te偶 jest), wobec czego jest to bijekcja z jednego z tych zbior贸w na drugi, czyli s膮 r贸wnoliczne. W przypadku przedzia艂u domkni臋tego nieco trudniej poda膰 bijekcj臋 WPROST pisz膮c jej wz贸r (da si臋, aczkolwiek wz贸r ten mo偶e nie narzuca si臋 komu艣 bez wprawy), ale mo偶na skorzysta膰 z twierdzenia Cantora-Bernsteina. Twierdzenie to m贸wi, 偶e je艣li zbi贸r A jest r贸wnoliczny z podzbiorem zbioru B, a zbi贸r B jest r贸wnoliczny z podzbiorem zbioru A, to zbiory A i B s膮 te偶 r贸wnoliczne ze sob膮. W przypadku zadania $A=[0,1]$, B=R. Zbi贸r A jest r贸wnoliczny z $[0,1]$, bo $f:A\to [0,1]$ $f(x)=x$ jest bijekcj膮, a skoro $[0,1]$ jest podzbiorem R, to A jest r贸wnoliczny z podzbiorem B. Zbi贸r B jest r贸wnoliczny z $(0,1)$, bo $g:R\to (0,1)$ $g(x)=\frac{x}{2+2\mid x\mid}+\frac{1}{2}$ jest bijekcj膮, $(0,1)$ to podzbi贸r zbioru $[0,1]$, czyli B jest r贸wnoliczny z podzbiorem zbioru A. |
matemaniak post贸w: 2 | 2016-03-21 13:23:21 Dzi臋ki wielkie. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj