Geometria, zadanie nr 4410

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
matemaniak postów: 2	2016-03-20 22:49:46 Dzień dobry. Proszę o pomoc z zadaniem. Treść zadania: Udowodnij, że w przedziale domkniętym [0,1] znajduje się tyle samo liczb, co liczb rzeczywistych ([0,1]~Liczby Rzeczywiste) . Kompletnie nie wiem jak do tego podejść. Nauczyciel podpowiedział nam, że ma to związek z "BIJEKCJĄ" oraz "RÓWNOLICZNOŚCIĄ LICZB". Nie mogę znaleźć w internecie niczego sensownego, więc proszę o pomoc tutaj. Byłbym wdzięczny o prostą odpowiedź. Dziękuję!

tumor postów: 8070	2016-03-21 08:18:26 W momencie gdy chcesz ściemniać, że nie możesz czegoś znaleźć, musisz mieć rozeznanie, co łatwo znaleźć, a co trudno. To akurat bardziej niż łatwo. Wikipedia ma odpowiednie rzeczy. Kursy na stronie co najmniej dziesięciu uczelni (to tylko początek wyników z google). To forum ma podobne zadania z objaśnieniami. Forum konkurencyjne też ma. Na youtube są odpowiednie filmy, po polsku. Nawet osiedlowe biblioteki mają podręczniki, w których to pojęcie znajdziesz. Szukasz matematyki, bierzesz grubą książkę "wstęp do..." albo "podstawy..." albo z jakiejś kilkutomówki tom pierwszy, patrzysz w indeksie, czy jest "różnowartościowość", "bijekcja", "równoliczność" i w wielu jest. A jak jeszcze byś wiedział, które tematy mają związek z teorią mnogości, to byłoby jeszcze łatwiej. Zatem wybacz, ale lepiej było tej ściemy o przeszukaniu internetów nie rzucać. Osoby, które znają pewne odpowiedzi, lepiej sobie zdają sprawę, że są to łatwe odpowiedzi i nie łykają, po prostu, tego "uczyłem się cały dzień i teraz z nerwów zapomniałem" czy "siedziałem nad tym ale nic nie wymyśliłem". ---- Dla zbiorów skończonych pojęcie "tyle samo elementów" jest dość oczywiste. Na przykład w jednym osiem i w drugim osiem. Dla dowolnych zbiorów nie mówi się "tyle samo elementów", mówi się, że zbiory są równoliczne. Jest to pewne uogólnienie pojęcia "tyle samo elementów". Przy tym dwa zbiory, które mają po osiem elementów, też są równoliczne. Bijekcja to funkcja różnowartościowa (czyli: każdym dwóm różnym argumentom odpowiadają różne wartości) i "na" (czyli: każdy element przeciwdziedziny należy do zbioru wartości). Równoliczność dwóch zbiorów sprawdzamy istnieniem bijekcji. Na przykład zbiór liczb naturalnych $N=\{0,1,2,3,4,...\}$ i zbiór liczb naturalnych parzystych $Par=\{0,2,4,6,8,...\}$ to zbiory równoliczne. Istnieje bowiem bijekcja. Tak naprawdę bijekcji jest tu nieskończenie wiele różnych, ale najłatwiej podać: $f:N\to Par$ $f(n)=2n$. Sprawdzamy, że jest to funkcja różnowartościowa (jest) i że jest "na" (też jest), wobec czego jest to bijekcja z jednego z tych zbiorów na drugi, czyli są równoliczne. W przypadku przedziału domkniętego nieco trudniej podać bijekcję WPROST pisząc jej wzór (da się, aczkolwiek wzór ten może nie narzuca się komuś bez wprawy), ale można skorzystać z twierdzenia Cantora-Bernsteina. Twierdzenie to mówi, że jeśli zbiór A jest równoliczny z podzbiorem zbioru B, a zbiór B jest równoliczny z podzbiorem zbioru A, to zbiory A i B są też równoliczne ze sobą. W przypadku zadania $A=[0,1]$, B=R. Zbiór A jest równoliczny z $[0,1]$, bo $f:A\to [0,1]$ $f(x)=x$ jest bijekcją, a skoro $[0,1]$ jest podzbiorem R, to A jest równoliczny z podzbiorem B. Zbiór B jest równoliczny z $(0,1)$, bo $g:R\to (0,1)$ $g(x)=\frac{x}{2+2\mid x\mid}+\frac{1}{2}$ jest bijekcją, $(0,1)$ to podzbiór zbioru $[0,1]$, czyli B jest równoliczny z podzbiorem zbioru A.

matemaniak postów: 2	2016-03-21 13:23:21 Dzięki wielkie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj