Topologia, zadanie nr 4415

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
adrianna postów: 21	2016-03-24 13:27:52 Pokazać, że w przestrzeni $T_{1}$ pochodna zbioru jest zbiorem domkniętym. $X \in T_{1} \iff \forall_{x_{1}, x_{2}\in X, x_{1}\neq x_{2}}\exists_{U\in O} x_{1}\in U \wedge x_{2}\notin U$ $ X \in T_{1} \iff $ każdy zbiór jednopunktowy w X jest domknięty. Pochodna zbioru A w przestrzeni topologicznej X to zbiór $ A^d $ wszystkich punktów skupienia tego zbioru. x jest punktem skupienia zbioru A $ \iff $ x $\in $ $\overline{ A\backslash\lbrace {x}\rbrace }$ x jest punktem skupienia w A $\iff \forall_{x\in U\in O} \lbrace x \rbrace \neq U\cap A\neq\emptyset$ O - rodzina zbiorów otwartch.

tumor postów: 8070	2016-03-24 13:54:34 Czyli pokażemy, że dopełnienie pochodnej jest zbiorem otwartym. Jeśli x należy do dopełnienia pochodnej, to istnieje otoczenie U punktu x, które nie ma punktu wspólnego z $A\backslash \{x\}$, a skoro U otwarty, to także $\overline{A\backslash \{x\}}\subset U`$. Czyli dla x nienależącego do pochodnej istnieje otoczenie otwarte x rozłączne z pochodną. --- To samo w nieco innym sformułowaniu: $A^d\subset \overline{A}$ Jeśli x nie należy do A i nie jest punktem skupienia A, to ma otoczenie rozłączne z A czyli także z $\overline{A} $, czyli także z $A^d$. Jeśli x izolowany w A, to istnieje otoczenie U punktu x takie, że $A\cap U=\{x\}$, wobec czego $U\cap A^d=\emptyset$ (każdy punkt zbioru U poza x ma otoczenie rozłączne z A, a więc i z $\overline{A}$, więc i z $A^d$, natomiast $x\notin A^d$).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj