Topologia, zadanie nr 4415
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
adrianna post贸w: 21 |  2016-03-24 13:27:52Pokaza膰, 偶e w przestrzeni $T_{1}$ pochodna zbioru jest zbiorem domkni臋tym. $X \in T_{1} \iff \forall_{x_{1}, x_{2}\in X, x_{1}\neq x_{2}}\exists_{U\in O} x_{1}\in U \wedge x_{2}\notin U$ $ X \in T_{1} \iff $ ka偶dy zbi贸r jednopunktowy w X jest domkni臋ty. Pochodna zbioru A w przestrzeni topologicznej X to zbi贸r $ A^d $ wszystkich punkt贸w skupienia tego zbioru. x jest punktem skupienia zbioru A $ \iff $ x $\in $ $\overline{ A\backslash\lbrace {x}\rbrace }$ x jest punktem skupienia w A $\iff \forall_{x\in U\in O} \lbrace x \rbrace \neq U\cap A\neq\emptyset$ O - rodzina zbior贸w otwartch. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-24 13:54:34 Czyli poka偶emy, 偶e dope艂nienie pochodnej jest zbiorem otwartym. Je艣li x nale偶y do dope艂nienia pochodnej, to istnieje otoczenie U punktu x, kt贸re nie ma punktu wsp贸lnego z $A\backslash \{x\}$, a skoro U otwarty, to tak偶e $\overline{A\backslash \{x\}}\subset U`$. Czyli dla x nienale偶膮cego do pochodnej istnieje otoczenie otwarte x roz艂膮czne z pochodn膮. --- To samo w nieco innym sformu艂owaniu: $A^d\subset \overline{A}$ Je艣li x nie nale偶y do A i nie jest punktem skupienia A, to ma otoczenie roz艂膮czne z A czyli tak偶e z $\overline{A} $, czyli tak偶e z $A^d$. Je艣li x izolowany w A, to istnieje otoczenie U punktu x takie, 偶e $A\cap U=\{x\}$, wobec czego $U\cap A^d=\emptyset$ (ka偶dy punkt zbioru U poza x ma otoczenie roz艂膮czne z A, a wi臋c i z $\overline{A}$, wi臋c i z $A^d$, natomiast $x\notin A^d$). |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj