Analiza matematyczna, zadanie nr 4418
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
brightnesss post贸w: 113 |  2016-03-28 18:39:18Witam, mam problem z tym zadaniem Ktore z ponizszych funkcji sa jednostajnie ciagle? a) f: $(0, \infty)->R f(x)=\frac{1}{x}$ f: R->R b)$f(x)=sin(x^{2})$ c) $f(x)=x^{2}$ d) $f(x)=xsinx$ Moglby mi ktos wytlumaczyc jak robic takie zadania? Bo znam definicje ale nie wiem co tu zrobic. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-28 22:10:01 Je艣li znasz definicj臋, to masz tylko sprawdzi膰, czy te funkcje j膮 spe艂niaj膮. Ja umiem przerysowa膰 szwedzkie s艂owa, ale nie m贸wi臋, 偶e je znam, p贸ki ich nie rozumiem. a) nie. Jak nie dobierzemy $\delta$ i $\epsilon$ dodatnie, to i tak umiemy znale藕膰 argumenty takie, 偶e $\mid x-y\mid <\delta$ ale $\mid f(x)-f(y)\mid >\epsilon$. b) r贸wnie偶 nie. 艁atwy kontrprzyk艂ad $\epsilon=1$, wtedy nie dobierzemy $\delta$ by definicja by艂a spe艂niona Intuicyjnie jednostajna ci膮g艂o艣膰 m贸wi, 偶e je艣li b臋dziemy zmienia膰 argument o MA艁O to warto艣膰 b臋dzie si臋 zmienia膰 o MA艁O. Oczywi艣cie ta ma艂o艣膰 jest wzgl臋dna, intuicyjna. Funkcja $\frac{1}{x}$ robi si臋 w pobli偶u 0 bardzo stroma. Ale nie chodzi tylko o stromo艣膰, ale o to, 偶e je艣li wymy艣limy sobie dowoln膮 r贸偶nic臋 $\epsilon$ mi臋dzy warto艣ciami (miliardy miliard贸w), to i tak znajdziemy argumenty tak bliskie siebie jak chcemy, ale dla kt贸rych funkcja przyjmuje warto艣ci o rozstrzale wi臋kszym od $\epsilon$. To chyba 艂atwe. Argumenty $\frac{1}{n}$ i $\frac{1}{n^2}$ s膮 coraz bli偶sze siebie w miar臋 wzrostu n, ale warto艣ci funkcji dla tych argument贸w s膮 w贸wczas coraz od siebie dalsze. Nieograniczenie. Funkcja $\sqrt{x}$ r贸wnie偶 jest stroma w pobli偶u 0. Jednak偶e w odr贸偶nieniu od tej wy偶ej, je艣li sobie z g贸ry za艂o偶ymy jaki艣 $\epsilon$, to znajdziemy $\delta$ tak膮, 偶e dla argument贸w bliskich siebie (r贸偶ni膮cych si臋 o $\delta$) warto艣ci s膮 bliskie siebie (r贸偶ni膮 si臋 najwy偶ej o $\epsilon$) Przemy艣l zatem przyk艂ady c),d) pod tym k膮tem: czy je艣li bierzemy MA艁E przedzia艂y, to w obr臋bie tych przedzia艂贸w warto艣ci wahaj膮 si臋 dowolnie mocno (jak w $\frac{1}{x}$) czy te偶 NIE dowolnie mocno (jak w $\sqrt{x}$) |
brightnesss post贸w: 113 | 2016-03-29 13:49:51 Hmm przeczytalam to wszystko, jednak nadal nie wiem jak szuka膰 tego $\delta i\epsilon$. Jak znale藕c te ktore pasuja? Ps chodzi艂o mi 偶e znam definicje, ale nie za bardzo potrafie z niej skorzystac. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-03-29 14:47:57 Wiem, 偶e o to Ci chodzi艂o. A mnie o to, 偶e zna膰 na pami臋膰, jak wiersz, to tyle co nie zna膰 wcale. Zna si臋 definicje naprawd臋, gdy ju偶 si臋 umie z niej korzysta膰 w niebanalnych przypadkach. W przypadku $sin(x^2)$ warto艣ci funkcji zmieniaj膮 si臋 od -1 do 1, co jest do艣膰 oczywiste. Je艣li zatem we藕miemy $\epsilon\ge 2$, to oczywi艣cie w CA艁EJ DZIEDZINIE warto艣ci funkcji r贸偶ni膮 si臋 najwy偶ej o 2, czyli $\delta$ dowolna. Ale je艣li we藕miemy $\epsilon$ mniejszy, na przyk艂ad r贸wny 1, co widzimy na wykresie? W miar臋 jak idziemy w prawo b膮d藕 w lewo w kierunku kt贸rej艣 niesko艅czono艣ci, wykres si臋 \"zag臋szcza\". Czyli coraz g臋艣ciej s膮 przeskoki mi臋dzy -1 a 1. Czyli gdzie艣 blisko 0 je艣li we藕miemy np $\delta=\frac{1}{1000}$ i dwa argumenty r贸偶ni膮 si臋 najwy偶ej o $\delta$, to warto艣ci im przypisane r贸偶ni膮 si臋 najwy偶ej o $\epsilon$. Ale gdy p贸jdziemy w stron臋 niesko艅czono艣ci, to znajdziemy gdzie艣 tam daleko wahania tak g臋ste, 偶e cho膰 argumenty b臋d膮 blisko siebie, to ich warto艣ci b臋d膮 si臋 r贸偶ni膰 o 2 (bo jedna b臋dzie -1, a druga 1), czyli wi臋cej ni偶 $\epsilon$. To samo zapisane 艣ci艣le wygl膮da膰 mo偶e tak: $f(x)=sin(x^2)$ Ustalmy $0<\epsilon<2$. Niech $x_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}+2n\pi}$ Oczywi艣cie $f(x_n)=1$. Ale granica $\lim_{n \to \infty}(x_{n+1}-x_n)=0$, czyli dla dowolnie dobranej $\delta>0$ istnieje n takie, 偶e $x_{n+1}-x_n<\delta$, jednocze艣nie jednak mi臋dzy $x_{n+1}$ a $x_n$ znajduje si臋 argument $x_0=\sqrt{(2n+\frac{3}{2})\pi}$, dla kt贸rego $f(x_0)=-1$. Wobec tego $f(x_n)-f(x_0)=2>\epsilon$ Sp贸jrz na $x^2$. Spr贸buj rozumowa膰 analogicznie. Albo xsinx No i jeszcze kwestia techniczna. Gdyby w matmie na wszystko by艂 podany wz贸r, to matm膮 zajmowa艂by si臋 kalkulator, kt贸ry by tylko podstawia艂 do wzoru i dawa艂 wynik. Potrzebni s膮 jednak matematycy, bo matematyka to sztuka kombinowania, testowania r贸偶nych pomys艂贸w, wyobra藕ni. Zatem nie ma metody \"je艣li chcesz znale藕膰 $\delta$ to zr贸b to i to\". Trzeba pomy艣le膰. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj