Analiza matematyczna, zadanie nr 4418

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
brightnesss postów: 113	2016-03-28 18:39:18 Witam, mam problem z tym zadaniem Ktore z ponizszych funkcji sa jednostajnie ciagle? a) f: $(0, \infty)->R f(x)=\frac{1}{x}$ f: R->R b)$f(x)=sin(x^{2})$ c) $f(x)=x^{2}$ d) $f(x)=xsinx$ Moglby mi ktos wytlumaczyc jak robic takie zadania? Bo znam definicje ale nie wiem co tu zrobic.

tumor postów: 8070	2016-03-28 22:10:01 Jeśli znasz definicję, to masz tylko sprawdzić, czy te funkcje ją spełniają. Ja umiem przerysować szwedzkie słowa, ale nie mówię, że je znam, póki ich nie rozumiem. a) nie. Jak nie dobierzemy $\delta$ i $\epsilon$ dodatnie, to i tak umiemy znaleźć argumenty takie, że $\mid x-y\mid <\delta$ ale $\mid f(x)-f(y)\mid >\epsilon$. b) również nie. Łatwy kontrprzykład $\epsilon=1$, wtedy nie dobierzemy $\delta$ by definicja była spełniona Intuicyjnie jednostajna ciągłość mówi, że jeśli będziemy zmieniać argument o MAŁO to wartość będzie się zmieniać o MAŁO. Oczywiście ta małość jest względna, intuicyjna. Funkcja $\frac{1}{x}$ robi się w pobliżu 0 bardzo stroma. Ale nie chodzi tylko o stromość, ale o to, że jeśli wymyślimy sobie dowolną różnicę $\epsilon$ między wartościami (miliardy miliardów), to i tak znajdziemy argumenty tak bliskie siebie jak chcemy, ale dla których funkcja przyjmuje wartości o rozstrzale większym od $\epsilon$. To chyba łatwe. Argumenty $\frac{1}{n}$ i $\frac{1}{n^2}$ są coraz bliższe siebie w miarę wzrostu n, ale wartości funkcji dla tych argumentów są wówczas coraz od siebie dalsze. Nieograniczenie. Funkcja $\sqrt{x}$ również jest stroma w pobliżu 0. Jednakże w odróżnieniu od tej wyżej, jeśli sobie z góry założymy jakiś $\epsilon$, to znajdziemy $\delta$ taką, że dla argumentów bliskich siebie (różniących się o $\delta$) wartości są bliskie siebie (różnią się najwyżej o $\epsilon$) Przemyśl zatem przykłady c),d) pod tym kątem: czy jeśli bierzemy MAŁE przedziały, to w obrębie tych przedziałów wartości wahają się dowolnie mocno (jak w $\frac{1}{x}$) czy też NIE dowolnie mocno (jak w $\sqrt{x}$)

brightnesss postów: 113	2016-03-29 13:49:51 Hmm przeczytalam to wszystko, jednak nadal nie wiem jak szukać tego $\delta i\epsilon$. Jak znaleźc te ktore pasuja? Ps chodziło mi że znam definicje, ale nie za bardzo potrafie z niej skorzystac.

tumor postów: 8070	2016-03-29 14:47:57 Wiem, że o to Ci chodziło. A mnie o to, że znać na pamięć, jak wiersz, to tyle co nie znać wcale. Zna się definicje naprawdę, gdy już się umie z niej korzystać w niebanalnych przypadkach. W przypadku $sin(x^2)$ wartości funkcji zmieniają się od -1 do 1, co jest dość oczywiste. Jeśli zatem weźmiemy $\epsilon\ge 2$, to oczywiście w CAŁEJ DZIEDZINIE wartości funkcji różnią się najwyżej o 2, czyli $\delta$ dowolna. Ale jeśli weźmiemy $\epsilon$ mniejszy, na przykład równy 1, co widzimy na wykresie? W miarę jak idziemy w prawo bądź w lewo w kierunku którejś nieskończoności, wykres się "zagęszcza". Czyli coraz gęściej są przeskoki między -1 a 1. Czyli gdzieś blisko 0 jeśli weźmiemy np $\delta=\frac{1}{1000}$ i dwa argumenty różnią się najwyżej o $\delta$, to wartości im przypisane różnią się najwyżej o $\epsilon$. Ale gdy pójdziemy w stronę nieskończoności, to znajdziemy gdzieś tam daleko wahania tak gęste, że choć argumenty będą blisko siebie, to ich wartości będą się różnić o 2 (bo jedna będzie -1, a druga 1), czyli więcej niż $\epsilon$. To samo zapisane ściśle wyglądać może tak: $f(x)=sin(x^2)$ Ustalmy $0<\epsilon<2$. Niech $x_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}+2n\pi}$ Oczywiście $f(x_n)=1$. Ale granica $\lim_{n \to \infty}(x_{n+1}-x_n)=0$, czyli dla dowolnie dobranej $\delta>0$ istnieje n takie, że $x_{n+1}-x_n<\delta$, jednocześnie jednak między $x_{n+1}$ a $x_n$ znajduje się argument $x_0=\sqrt{(2n+\frac{3}{2})\pi}$, dla którego $f(x_0)=-1$. Wobec tego $f(x_n)-f(x_0)=2>\epsilon$ Spójrz na $x^2$. Spróbuj rozumować analogicznie. Albo xsinx No i jeszcze kwestia techniczna. Gdyby w matmie na wszystko był podany wzór, to matmą zajmowałby się kalkulator, który by tylko podstawiał do wzoru i dawał wynik. Potrzebni są jednak matematycy, bo matematyka to sztuka kombinowania, testowania różnych pomysłów, wyobraźni. Zatem nie ma metody "jeśli chcesz znaleźć $\delta$ to zrób to i to". Trzeba pomyśleć.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj