logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4423

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-03-30 21:46:54

Wiemy, ze zbiory A i B sa niepuste. Pokaz, ze A$\cap$B = A$\cup$B wtedy i tylko wtedy,
gdy A$\times$B = B$\times$A. (Wskazówka: zamiast próbowac dowodzic tego faktu bezposrednio,
spróbuj zrozumiec co tak naprawde oznaczaja te warunki dla zbiorów A i B i poprowadz dowód
wykorzystujac te uwage.) Co sie zmieni, jesli nie bedziemy zakładali, ze zbiory A i B sa niepuste?


Zauwazmy, ze gdy zbiory A, B sa niepuste, to rownosc A$\cap$B = A$\cup$B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A=B. Analogicznie z A$\times$B = B$\times$A.
Zatem
A$\cap$A=A$\cup$A, czyli A=A oraz A$\times$A=A$\times$A.
Mamy
A=A$\iff$A$\times$A=A$\times$A.
Ale zauwazmy, ze rownosc A=A jest zawsze prawdziwa dla dowolnego zbioru A oraz rownosc A$\times$A=A$\times$A tez jest zawsze prawdziwa dla dowolnego zbioru A. Zatem ich rownowaznosc tez jest prawdziwa?

Gdy nie bedziemy zakladali, ze zbiory A i B sa niepuste, to jezeli A=$\emptyset$ to tez B=$\emptyset$ albo gdy B=$\emptyset$ to tez A=$\emptyset$. W kazdym z tych przypadkow bedzie zachodzila rownowaznosc.

Poprawne rozumowanie?


tumor
postów: 8070
2016-03-30 22:13:26

Mniej więcej, choć niepotrzebnie rozwlekłe, no i pokazujesz tylko w jedną stronę.

Starczy
$A\cup B = A\cap B \Rightarrow A\subset (A\cap B) \wedge B\subset (A\cap B) \Rightarrow A=B \Rightarrow A\times B = A\times A = B\times A$.

W drugą, jeśli $A\times B = B\times A$, to $A\subset B$ i $B\subset A$, wobec czego $A=B$ i stąd $A\cap B = A\cap A = A = A\cup A=A\cup B$.


----

Jeśli jednak dokładnie jeden ze zbiorów będzie niepusty, to
$A\times B = B\times A$, to jest prawdą, natomiast
$A\cap B = A\cup B$ już nie jest prawdą. Wobec tego dla jednego zbioru pustego równoważność nie zachodzi.

Wiadomość była modyfikowana 2016-03-30 22:13:43 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj