Algebra, zadanie nr 4426

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
qwer1234 postów: 4	2016-04-03 20:19:11 Oblicz następującą liczbę: $z = \frac{(\sqrt{3} + i)^{9}}{i^{8}(1-i)^{12}}$ a następnie wylicz $ \sqrt[3]{z}$.

janusz78 postów: 820	2016-04-04 08:56:30 Ze wzoru de Moivre'a: $(\sqrt(3)+ i)^9= 2^9(sos(9\alpha)+ isin(9\alpha)$ $ \cos(\alpha)= \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ sin(\alpha)= \frac{1}{2}, \ \ \alpha = \frac{\pi}{6}.$ $ (\sqrt{3}+ i)^9 = 2^{9}(\cos\left(\frac{9\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{9\pi}{6}\right)= 2^{9}(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)= 2^9( 0 - i) = -2^9i.$ $i^8 = (i^2)^{4}= (-1)^4 =1.$ Podobnie $ \cos(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \ \ \sin(\beta)= -\frac{1}{\sqrt{2}}.$ $ \beta = \frac{7}{4}\pi.$ $ (1-i)^{12} = (\sqrt{2})^{12}( \cos(21\pi)+i\sin(21\pi)=2^{6}(-1 +i0)= -2^6.$ $ z = \frac{-2^9i}{1\cdot(-2^6)}= 2^3 i$ $ \sqrt[3]{8i}= 2\sqrt[3]{i}$ $ z_{0}= 2(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+ i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right))= 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} +i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}+i.$ $z_{1}= 2(\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) +i\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right))= 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{3} + i.$ $z_{3}=2(\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) +i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right))= 2(0- i) = -2i.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj