logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4431

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

Aneta
postów: 1255
2016-04-06 17:21:50

Całka Riemanna Stieltjesa dowód

$\int_{a}^{b}fd(w_{1}+w_{2}) = \int_{a}^{b} fdw_{1}+ \int_{a}^{b} fdw_{2}$

Załóżmy że istnieją całka $\int_{a}^{b} fd(w)$ . Weźmu dowolny podział $\pi$ przedziału [a,b] wraz z punktami pośrednimi
$\epsilon_{i} \in [x_{i}, x_{i-1}]$ gdzie i=1,..,n ?

L=$\sum_{i=1}^{n} f(\epsilon_{i}) (a(x_{i})+a(x_{i-1})+a(x_{k})+a(x_{k-1}))= $
$=\sum_{i=1}^{n} f(\epsilon_{i}) (a(x_{i})+a(x_{i-1}))=sum_{i=1}^{n} f(\epsilon_{i}) (a(x_{k})+a(x_{k-1}))P$


jak opisać $x_{k},x_{k-1}$ i gdzie należy k ?

Wiadomość była modyfikowana 2016-04-07 21:06:33 przez Aneta

tumor
postów: 8070
2016-04-06 20:53:26

A rozumiesz, co robisz, czy piszesz jakieś literki i jest dobrze albo źle, ale nie wiesz czemu?

GDZIE się w ogóle pojawia jakieś $c$? Po co Ci stała $c\in R$, skoro ona nigdzie u licha nie występuje w całce $\int_a^bfd(a)$?
Czemu całka jest $d(a)$, skoro $a$ jest jednocześnie końcem przedziału całkowania?

Jeśli całki po prawej stronie istnieją, to znaczy istnieją granice po wszystkich podziałach następujących sum:
$S(P,f,a_1)=\sum_{i=1}^nf(\epsilon_i)(a_1(x_i)-a_1(x_{i-1}))$
$S(P,f,a_2)=\sum_{i=1}^nf(\epsilon_i)(a_2(x_i)-a_2(x_{i-1}))$

Oznacza to, że jeśli zagęszczamy podział, czyli gdy średnice przedziałów maleją do 0 (a liczba przedziałów rośnie do nieskończoności), to sumy te są zbieżne do pewnych granic i nie zależą od wyboru reprezentanta przedziału $\epsilon_i\in [x_{i-1},x_i]$

Wobec faktu, że dla każdego ustalonego podziału P mamy
$S(P,f,a_1)+S(P,f,a_2)=\sum_{i=1}^nf(\epsilon_i)(a_1(x_i)-a_1(x_{i-1})+a_2(x_i)-a_2(x_{i-1}))=S(P,f,a_1+a_2)$
suma po prawej musi być zbieżna w miarę zbiegania średnic podziałów do 0 i nie zależy od wyboru $\epsilon_i\in [x_{i-1},x_i]$




strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj