logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4437

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-04-07 18:13:29

Zapisz ponizsze funkcje zdaniowe symbolicznie, za pomoca kwantykatorów.

a) Liczba x przy dzieleniu przez 7 daje reszte 3.
b) Istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 7 daje reszte 3.
c) x jest liczba pierwsza
d) x jest liczba parzysta
e) x nie jest liczba pierwsza
f) x jest liczba nieparzysta podzielna przez 3
g) Zbiór A ma co najmniej 1 element
h) Zbiór A ma co najmniej 2 elementy
i) Zbiór A nie ma zadnego elementu (jest pusty).
j) Zbiór A ma dokladnie 1 element.
k) Zbiór A ma dokladnie 2 elementy.
l) Zbiór A ma dokladnie 3 elementy.
m) Zbiór A ma co najwyzej dwa elementy
n) Ciag $a_{n}$ jest rosnacy.
o) Ciag $a_{n}$ ma zarówno wyrazy dodatnie jak i ujemne.
p) Liczba $\sqrt{2}$ jest niewymierna. (Nie uzywaj tu symboli $Q$ i $IQ$.)
q) Istnieje nieskonczenie wiele liczb naturalnych.
r) Istnieje nieskonczenie wiele liczb pierwszych.

a) $\exists_{k}$ $\in N$ (x=7k+3)
b) $\exists_{n}$ $\in N$ $\exists_{k}$ $\in N$ (n=7k+3)
c) $\exists_{k}$ $\in N$ (x$\neq$k $\wedge$ k|x)
d) $\exists_{x}$ $\in N$ (2|x)
e) $\neg$ c)
f) $\exists_{k}$ $\in N$ (x=2k+1 $\wedge$ 3|x)
g) $\exists_{x}$ $\in A$
h) $\exists_{x,y} \in A$ (x$\neq$ y)
i) $\forall_{x} \in A$ (x$\neq$x) albo $\forall_{x}$ x$\notin$ A
j) $\exists_{x} \in A$ $\forall_{y} \in A$ (x=y)
k) $\exists_{x,y} \in A$ (x$\neq$y $\wedge$ ($\forall_{b} \in A$)(x=b $\vee$ y=b))
l) $\exists_{x,y,z} \in A$ (x$\neq$y $\wedge$ x$\neq$z $\wedge$ y$\neq$z $\wedge$ ($\forall_{b} \in A$)(x=b $\vee$ y=b $\vee z=b$))
m) i) $\vee$ j) $\vee$ k)
n) $\forall_{n} \in N$ ($a_{n+1}-a_{n}$>0)
o) $\exists_{n,m} \in N$ ($a_{n}$<0 $\wedge$ $a_{m}$>0)
p) $\exists_{x} \in R$ ($x^{2}=2$)
q) $\forall_{n} \in N$ $\exists_{k} \ge n$ p(k), gdzie p(k)="k jest l. naturalna"
r) $\forall_{n} \in N$ $\exists_{k} \ge n$ p(k), gdzie p(k)="k jest l. pierwsza"

Moglbym poprosic o sprawdzenie i poprawienie bledow?


tumor
postów: 8070
2016-04-07 18:38:57

a) Podzielność z resztą możemy rozważać w liczbach całkowitych, a nie tylko naturalnych, wtedy dopuszczamy k całkowite, a nie tylko naturalne.

c) chyba nie pamiętasz, co to są liczby pierwsze.

d) zdanie nie brzmiało "istnieje co najmniej jedna naturalna liczba parzysta"

e) jest do poprawy jak c)

f) zastrzeżenie jak wcześniej: podzielność dotyczy liczb całkowitych, sama treść zdań nie narzuca ograniczenia się do naturalnych

i) mimo iż drugi zapis jest chyba bardziej oczywisty, pierwszy mi się bardziej podoba. Wyjaśnienie czemu zajęłoby zbyt dużo miejsca.

j) istnienie dokładnie jednego elementu załatwiamy też symbolem
$\exists !$

m) pójście na łatwiznę, da się tę formułę skrócić przecież

p) ten zapis nie ma nic wspólnego z niewymiernością. Czy gdyby 2 zamienić na 4, to nagle $\sqrt{4}$ będzie niewymierny?

Liczba wymierna to taka, którą można zapisać jako iloraz liczb całkowitych.


q) akceptowalnie, ale chyba ładniej
$\forall_{n\in N}\exists_{k\in N}k>n$

r) oczywiście p(k) dobrze byłoby zapisać symbolicznie, a c) nie masz dobrze

Zwracam też uwagę, że te zapisy mogą oddawać sens, ale niekoniecznie są bezpośrednimi zapisami zdań.
Gdy piszesz, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, zapis symboliczny mówi, że istnieje liczba pierwsza większa od dowolnej z góry zadanej liczby naturalnej. Oczywiście zdania te implikują się wzajemnie, wobec tego rozwiązanie jest akceptowalne, no ale prawdopodobnie istnieją ludzie, którzy tego związku między nimi tak od razu nie widzą.


geometria
postów: 863
2016-04-07 19:20:14

p) ($\forall_{x} \in R$)($\forall_{y} \in R\backslash {0} $)($\sqrt{2}$$\neq$$\frac{x}{y}$)
d)$\exists_{k} \in Z$ (n=2k)
c) $\exists_{x} \in N$ $\forall_{x} \in N$ (n|x$\Rightarrow$ n=x $\vee$ n=1)



tumor
postów: 8070
2016-04-07 19:49:01

p) R nie oznacza całkowitych

c) x przy obu kwantyfikatorach

d) ok, to znaczy "n jest parzysta", czyli już prawie to, co chcieli :)


geometria
postów: 863
2016-04-07 20:04:47

p) powinno byc Z
c) $\exists_{x} \in N$ $\forall_{n} \in N$ (...)
d) tutaj nie wiem czego brakuje


geometria
postów: 863
2016-04-07 20:18:05

Niech x, y, z $\in N$.
Zapisac symbolicznie zdanie: "x jest wielokrotnoscia liczb y i z" (bez uzycia symbolu podzielnosci x|y).

$\exists_{k, l} \in N$ (x=k*y $\wedge$ x=l*z)


tumor
postów: 8070
2016-04-07 20:24:19

d) w zadaniu jest x, nie n. W poważnych zadaniach taka podmiana literki w przypadkowym miejscu będzie mieć znaczenie, choć tu nie ma.

c) to znów zapis "istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza"

Polecam zapoznać się z różnicą między funkcją zdaniową a zdaniem. "x jest liczbą pierwszą" to funkcja zdaniowa, która staje się zdaniem po podstawieniu za x konkretnej wartości.
"istnieje liczba pierwsza" to zdanie.
W funkcji zdaniowej x nie jest związany kwantyfikatorem.

Zatem po prostu
$ x>1 \wedge \forall_{n\in N}(n\mid x \Rightarrow (n=1 \vee n=x))$

1 nie jest pierwsza mimo iż spełnia warunek, że nie ma dzielników naturalnych poza 1 i nią samą.


---

To z wielokrotnościami dobrze.


geometria
postów: 863
2016-04-08 17:35:55

Zapisac symbolicznie zdanie:
Jesli liczby rzeczywiste x i y sa rozne, to x jest mniejsze od y lub y jest mniejsze od x.

1. x$\neq$y $\Rightarrow$ (x<y $\vee$ y<x) (to jest f. zdaniowa)
czy
2. ($\forall_{}$ x,y $\in R$)(x$\neq$y $\Rightarrow$ (x<y $\vee$ y<x)) (to jest zdanie)

Ktora wersja jest poprawna? Spotkalem sie z roznymi opiniami.


tumor
postów: 8070
2016-04-08 19:57:47

Tylko druga wersja mówi o liczbach rzeczywistych.

Rozumiem, że zdanie nie mówi wprost o żadnej kwantyfikacji (nie wspomina, że to dowolne x,y), dlatego uznałbym też wersję pierwszą, ale sam wybrałbym drugą.


geometria
postów: 863
2016-04-09 14:39:48

(*) Istnieje liczba naturalna $m$ taka, ze 4=$m^{2}$.
(**) Jesli liczba $x$ jest ujemna, to jej trzecia potega tez jest ujemna.
(***) Liczba $z$ jest rozwiazaniem rownania x-5=0.

Wedlug mnie (*) to zdanie, a pozostale to funkcje zdaniowe.
Prosze o opinie.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj