Topologia, zadanie nr 4441

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mate_matykaa postów: 117	2016-04-10 10:59:55 1.Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi. Wykazać, że jeżeli funkcja f: X → Y jest homeomorfizmem, to dla dowolnego zbioru A ⊂ X mamy f(FrA) = Fr f(A). 2. Niech X = [0, 2) ∪ {4}, Y = [0, 2] oraz funkcja f: X → Y będzie określona następująco: f(x) = $\left\{\begin{matrix} x, gdy x ∈ [0, 2), \\ 2, gdy x = 4 , \end{matrix}\right.$ przy czym w X i w Y mamy metrykę naturalną. Zbadać czy funkcja f jest homeomorfizmem.

mate_matykaa postów: 117	2016-04-10 11:03:16 Niech X = [0, 2)$\cup${4}, Y = [0, 2] oraz funkcja f: X$\rightarrow$Y będzie określona następująco: f(x) =$\left\{\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix}\right.$ x, gdy x$\in$[0,2) 2, gdy x=4 przy czym w X i w Y mamy metrykę naturalną. Zbadać czy funkcja f jest homeomorfizmem.

tumor postów: 8070	2016-04-10 13:03:17 1. Homeomorfizm to ciągła bijekcja, której funkcja odwrotna też jest ciągła. Zatem obrazami i przeciwobrazami zbiorów domkniętych (otwartych) są zbiory domknięte (otwarte). Brzeg zbioru $FrA=clA\cap cl A`$. Jeśli $A\subset X$, to oczywiście $f(A),f(A`)\subset Y$ rozłączne sumujące się do $Y$. $f(clA)=cl(f(A))$ Zawieranie w lewo jest oczywiste, bo $f(A) \subset f(clA)$ i $f(clA)$ domknięty. Zawieranie w prawo: niech $x\in clA\backslash A$, czyli każde otoczenie U punktu x ma niepusty przekrój z $A\backslash \{x\}$. Zatem każde otoczenie V punktu $y=f(x)$ ma niepusty przekrój z $f(A)\backslash \{y\}$, zatem $y\in cl(f(A))$. Wówczas co oczywiste $f(FrA)=f(clA\cap cl A`)=cl(f(A))\cap cl(f(A`))=cl(f(A))\cap cl(f(A)`)=Fr(f(A))$

tumor postów: 8070	2016-04-10 13:04:51 2. $\{4\}$ otwarty w X z metryką naturalną $\{2\}$ nie jest otwarty w Y z metryką naturalną. Wobec tego nie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj