logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 4442

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

adrianna
postów: 21
2016-04-10 20:05:31

Niech X będzie przestrzenią $T_{4}$, A $\subset$ X zbiorem domkniętym, U$\subset$X zbiorem otwartym takim, że A$\subset$U. Pokazać, że istnieje zbiór otwarty V typu $F_{\sigma}$ taki, że A$\subset$V$\subset$U.

X$\in$$T_{4}$$\iff$ X$\in$$T_{1}$ $\wedge$ $\forall_{A_{1},A_{2} - domknięte}$ $A_{1}\cap A_{2}$=$\emptyset$ $\Rightarrow$$\exists_{U_{1},U_{2}\in O}$$A_{1}\subset U_{1} \wedge A_{2}\subset U_{2} \wedge U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$

O - rodzina zbiorów otwartych

Zbiór U $\subset$X nazywamy otwartym $\iff $ $\forall_{x\in U} \exists_{r>0}$ K(x,r)={y$\in $X: d(x,y) < r}$\subset$ U

Zbiór A nazywamy zbiorem domkniętym przestrzeni topologicznej (X,O) $\iff$ gdy zbiór X\A jest zbiorem otwartym.

A$\subset$X nazywamy zbiorem typu $F_{\sigma}$ $\iff$ jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych.


tumor
postów: 8070
2016-04-11 07:57:23

Cóż, w definicji masz kule otwarte, jakbyśmy się musieli obracać w przestrzeniach metrycznych, ale możemy rzecz uogólnić na przestrzenie topologiczne.

Niech $X$ będzie $T_4$.
Będziemy postępować indukcyjnie
Mamy $A\subset U$, czyli $A$ oraz $U`$ są domknięte rozłączne, wobec czego na mocy warunku $T_4$ istnieją ich rozłączne otoczenia otwarte,
niech $A\subset U_1$, $U`\subset F_1`$ (niech $F_1$ będzie domknięty, wówczas $F_1`$ będzie naszym zbiorem otwartym z warunku $T_4$), gdzie $U_1\cap F_1`=\emptyset$.
Tak skonstruowaliśmy $U_1$, dla którego $clU_1$ rozłączny z $U`$.
Załóżmy, że mamy już zbiory $U_1,...,U_k$ otwarte o domknięciach rozłącznych z $U`$.
Wtedy $U_{k+1}$ konstruujemy następująco:
$clU_k$ jest domknięty i rozłączny z $U`$, wobec czego istnieją ich otoczenia otwarte rozłączne, $clU_k\subset U_{k+1}$ oraz $U`\subset F_{k+1}`$. Wówczas $cl U_{k+1}$ rozłączny z $U`$.

Mamy zatem ciąg zbiorów otwartych $U_i$, przy tym
$clU_k\subset U_{k+1}$ dla wszystkich $k$ naturalnych.

Rozważmy sumę $V=\sum_i clU_i$.
Jest to przeliczalna suma zbiorów domkniętych, czyli zbiór $F_\sigma$.
Niech teraz $x\in V$, czyli $x\in clU_k$ dla pewnego $k$ naturalnego, ale wówczas $x\in U_{k+1}\subset clU_{k+1}\subset V$, czyli $V$ jest zbiorem otwartym.
Skoro wszystkie $clU_i$ były rozłączne z $U`$, to ich suma jest rozłączna z $U`$, czyli $A\subset V\subset U$.

Wiadomość była modyfikowana 2016-04-11 08:20:49 przez tumor

adrianna
postów: 21
2016-04-11 21:48:52

Dziękuję bardzo!!! :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj