Topologia, zadanie nr 4442
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
adrianna post贸w: 21 |  2016-04-10 20:05:31Niech X b臋dzie przestrzeni膮 $T_{4}$, A $\subset$ X zbiorem domkni臋tym, U$\subset$X zbiorem otwartym takim, 偶e A$\subset$U. Pokaza膰, 偶e istnieje zbi贸r otwarty V typu $F_{\sigma}$ taki, 偶e A$\subset$V$\subset$U. X$\in$$T_{4}$$\iff$ X$\in$$T_{1}$ $\wedge$ $\forall_{A_{1},A_{2} - domkni臋te}$ $A_{1}\cap A_{2}$=$\emptyset$ $\Rightarrow$$\exists_{U_{1},U_{2}\in O}$$A_{1}\subset U_{1} \wedge A_{2}\subset U_{2} \wedge U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ O - rodzina zbior贸w otwartych Zbi贸r U $\subset$X nazywamy otwartym $\iff $ $\forall_{x\in U} \exists_{r>0}$ K(x,r)={y$\in $X: d(x,y) < r}$\subset$ U Zbi贸r A nazywamy zbiorem domkni臋tym przestrzeni topologicznej (X,O) $\iff$ gdy zbi贸r X\A jest zbiorem otwartym. A$\subset$X nazywamy zbiorem typu $F_{\sigma}$ $\iff$ jest sum膮 przeliczalnie wielu zbior贸w domkni臋tych. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-04-11 07:57:23 C贸偶, w definicji masz kule otwarte, jakby艣my si臋 musieli obraca膰 w przestrzeniach metrycznych, ale mo偶emy rzecz uog贸lni膰 na przestrzenie topologiczne. Niech $X$ b臋dzie $T_4$. B臋dziemy post臋powa膰 indukcyjnie Mamy $A\subset U$, czyli $A$ oraz $U`$ s膮 domkni臋te roz艂膮czne, wobec czego na mocy warunku $T_4$ istniej膮 ich roz艂膮czne otoczenia otwarte, niech $A\subset U_1$, $U`\subset F_1`$ (niech $F_1$ b臋dzie domkni臋ty, w贸wczas $F_1`$ b臋dzie naszym zbiorem otwartym z warunku $T_4$), gdzie $U_1\cap F_1`=\emptyset$. Tak skonstruowali艣my $U_1$, dla kt贸rego $clU_1$ roz艂膮czny z $U`$. Za艂贸偶my, 偶e mamy ju偶 zbiory $U_1,...,U_k$ otwarte o domkni臋ciach roz艂膮cznych z $U`$. Wtedy $U_{k+1}$ konstruujemy nast臋puj膮co: $clU_k$ jest domkni臋ty i roz艂膮czny z $U`$, wobec czego istniej膮 ich otoczenia otwarte roz艂膮czne, $clU_k\subset U_{k+1}$ oraz $U`\subset F_{k+1}`$. W贸wczas $cl U_{k+1}$ roz艂膮czny z $U`$. Mamy zatem ci膮g zbior贸w otwartych $U_i$, przy tym $clU_k\subset U_{k+1}$ dla wszystkich $k$ naturalnych. Rozwa偶my sum臋 $V=\sum_i clU_i$. Jest to przeliczalna suma zbior贸w domkni臋tych, czyli zbi贸r $F_\sigma$. Niech teraz $x\in V$, czyli $x\in clU_k$ dla pewnego $k$ naturalnego, ale w贸wczas $x\in U_{k+1}\subset clU_{k+1}\subset V$, czyli $V$ jest zbiorem otwartym. Skoro wszystkie $clU_i$ by艂y roz艂膮czne z $U`$, to ich suma jest roz艂膮czna z $U`$, czyli $A\subset V\subset U$. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-04-11 08:20:49 przez tumor |
adrianna post贸w: 21 | 2016-04-11 21:48:52 Dzi臋kuj臋 bardzo!!! :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj