Algebra, zadanie nr 4445

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pattrycja96 postów: 7	2016-04-11 19:02:11 Czy zachodzi poniższa zależność? Jeśli tak, to udowodnić ją. $(U_{1}+...+U_{k})\cap V=(U_{1}\cap V)+...+(U_{k}\cap V)$

tumor postów: 8070	2016-04-11 19:16:23 Mam w naprawie kryształową kulę, wobec tego nie sprawdzę sobie, co znaczą odpowiednie symbole. Może pomyśl, że nie każdy człowiek na świecie przerabia dokładnie ten sam dział algebry, gdy Ty przerabiasz, wobec tego warto wspomnieć, o czym się pisze?

pattrycja96 postów: 7	2016-04-11 19:51:17 $U_{i}$ i V to podprzestrzenie jakiejś przestrzeni, + to suma algebraiczna, a $\cap$ to przecięcie danych podprzestrzeni Dział : przestrzenie liniowe

tumor postów: 8070	2016-04-11 20:15:14 Sumą algebraiczną podprzestrzeni $U_1,U_2$ nazywamy $U_1+U_2=\{u_1+u_2:u_1\in U_1, u_2\in U_2\}$ Jeśli $u_i\in U_i\cap V$ dla $i=1,2,...,k$, to wtedy $\sum u_i\in (U_1+...+U_k)\cap V$. W jedną stronę zawieranie jest oczywiste. Ale w drugą zawieranie wygląda podejrzanie. Wyobraź sobie na płaszczyźnie trzy proste przechodzące przez $(0,0)$ i nie mające poza tym punktów wspólnych. Niech to będą $U_1, U_2, V.$ Oczywiście to są podprzestrzenie liniowe płaszczyzny. Czy dla nich $(U_1+U_2)\cap V \subset (U_1\cap V)+(U_2\cap V)$ ?

pattrycja96 postów: 7	2016-04-11 20:29:45 Wydaje mi się, że niekoniecznie, bo ta prosta V może zawierać się w $U_{1}+U_{2}$ (jeśli np. poprowadzimy płaszczyznę przez $U_{1}, U_{2}$ i wybierzemy sobie za V dwusieczną kąta między tymi prostymi). Wtedy przecięcie to wynosi V, a za to prawa strona naszego zawierania jest {0}, bo każda częśc wspólna tych podprzestrzeni to jedynie 0.

tumor postów: 8070	2016-04-11 20:43:54 Bardzo słusznie. Przy tym nie potrzeba dwusiecznej. $U_1+U_2$ dają całą płaszczyznę, bo to zbiór wszystkich wektorów dających się zapisać jako $u_1+u_2$ (a skoro proste $U_1,U_2$ nie pokrywają się, to każdy wektor płaszczyzny się da: $u_1, u_2$ wcale nie muszą być tej samej długości). Wobec tego lewa strona jest $V$, prawa rzeczywiście $\{0\}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj