Algebra, zadanie nr 4446
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
adrianna post贸w: 21 |  2016-04-11 21:47:52TOPOLOGIA 1. Niech G b臋dzie otwartym podzbiorem , a A dowolnym zbiorem w przestrzeni topologicznej X. Pokaza膰, 偶e: a) $ A\cap G $ $\neq \emptyset \iff$ $\overline{A} \cap G \neq \emptyset$ b) $\overline{A} \cap G \subset \overline{A \cap G}$ $\overline{\overline{A} \cap B} = \overline{A\cap B}$ 2. Niech $B$ b臋dzie baz膮 przestrzeni topologicznej (X,U), A$\subset$ X. Pokaza膰, 偶e $x\in \overline{A} \iff $ dla ka偶dego $U\in B$ zachodzi $U\cap A \neq\emptyset$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-04-11 22:03:31 przez adrianna |
tumor post贸w: 8070 | 2016-04-11 22:12:43 1. a) do艣膰 oczywiste, 偶e skoro clA (domkni臋cie b臋d臋 tak oznacza艂) jest przekrojem wszystkich zbior贸w domkni臋tych zawieraj膮cych A, a jednym z tych zbior贸w jest G`, to $clA\subset G`$. b) zaczniemy od drugiej cz臋艣ci. We藕my $x\in cl((clA)\cap B)$ Czyli ka偶de otoczenie U punktu x ma niepusty przekr贸j z $(clA)\cap B$, ale skoro U ma niepusty przekr贸j z clA, to ma te偶 niepusty przekr贸j z A. Zatem ka偶de otoczenie U punktu x ma niepusty przekr贸j z $A\cap B$. W drug膮 stron臋 jest oczywiste, 偶e $A\cap B\subset (clA)\cap B$, wi臋c i domkni臋cia zachowaj膮 inkluzj臋. Zatem nie budzi teraz w膮tpliwo艣ci, 偶e $(clA)\cap G \subset cl ((clA)\cap G)=cl (A\cap G)$ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-04-11 22:23:09 2. Polecenie nie jest dobrze przepisane. Je艣li $x\in A$, to oczywi艣cie ka偶de otoczenie U punktu x ma punkt wsp贸lny z A (punkt x). Niech zatem $x\in clA\backslash A$. Gdyby istnia艂o otoczenie U punktu x roz艂膮czne z A, to w贸wczas $A\subset U`$ oraz $x\notin U`$, czyli $x\notin clA$ (gdzie domkni臋cie rozumiane jest jako iloczyn zbior贸w domkni臋tych zawieraj膮cych A, zatem mi臋dzy innymi U`). Sprzeczno艣膰. W drug膮 stron臋, je艣li $x\notin clA$, to $U=(clA)`$, $U\cap A=\emptyset$, o ile ju偶 dowodzili艣my, 偶e domkni臋cie zbioru jest zbiorem domkni臋tym. --- Ma艂a uwaga techniczna. Topologi臋 mo偶na r贸偶nie wprowadza膰 (o tym du偶o u Engelkinga). Je艣li zaczniemy od definicji m贸wi膮cej mi臋dzy innymi, 偶e suma dowolnie wielu zbior贸w otwartych jest zbiorem otwartym, to z praw de Morgana mamy od razu, 偶e przekr贸j dowolnie wielu zbior贸w domkni臋tych (dope艂nie艅 zbior贸w otwartych) jest zbiorem domkni臋tym. Zatem domkni臋cie A zdefiniowane jako przekr贸j zbior贸w domkni臋tych zawieraj膮cych A jest zbiorem domkni臋tym na pewno i bez dodatkowych dowod贸w. Jednak偶e mo偶na wprowadzi膰 definicje na tyle inaczej, 偶e wtedy tego rodzaju w艂asno艣ci robi膮 si臋 nieoczywiste i wymagaj膮 dowod贸w. Z kolei inne rzeczy b臋d膮 w贸wczas 艂atwe. Taki los. W przypadku tego dzia艂u matematyki dobrze podawa膰, jakie w艂asno艣ci by艂y wcze艣niej wykazane, przez co mo偶na z nich teraz korzysta膰. -- Jeszcze mniejsza uwaga techniczna W rozwi膮zaniu zadania 1 korzystam z w艂asno艣ci dowodzonej w 2. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj