Algebra, zadanie nr 4446

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
adrianna postów: 21	2016-04-11 21:47:52 TOPOLOGIA 1. Niech G będzie otwartym podzbiorem , a A dowolnym zbiorem w przestrzeni topologicznej X. Pokazać, że: a) $ A\cap G $ $\neq \emptyset \iff$ $\overline{A} \cap G \neq \emptyset$ b) $\overline{A} \cap G \subset \overline{A \cap G}$ $\overline{\overline{A} \cap B} = \overline{A\cap B}$ 2. Niech $B$ będzie bazą przestrzeni topologicznej (X,U), A$\subset$ X. Pokazać, że $x\in \overline{A} \iff $ dla każdego $U\in B$ zachodzi $U\cap A \neq\emptyset$ Wiadomość była modyfikowana 2016-04-11 22:03:31 przez adrianna

tumor postów: 8070	2016-04-11 22:12:43 1. a) dość oczywiste, że skoro clA (domknięcie będę tak oznaczał) jest przekrojem wszystkich zbiorów domkniętych zawierających A, a jednym z tych zbiorów jest G`, to $clA\subset G`$. b) zaczniemy od drugiej części. Weźmy $x\in cl((clA)\cap B)$ Czyli każde otoczenie U punktu x ma niepusty przekrój z $(clA)\cap B$, ale skoro U ma niepusty przekrój z clA, to ma też niepusty przekrój z A. Zatem każde otoczenie U punktu x ma niepusty przekrój z $A\cap B$. W drugą stronę jest oczywiste, że $A\cap B\subset (clA)\cap B$, więc i domknięcia zachowają inkluzję. Zatem nie budzi teraz wątpliwości, że $(clA)\cap G \subset cl ((clA)\cap G)=cl (A\cap G)$

tumor postów: 8070	2016-04-11 22:23:09 2. Polecenie nie jest dobrze przepisane. Jeśli $x\in A$, to oczywiście każde otoczenie U punktu x ma punkt wspólny z A (punkt x). Niech zatem $x\in clA\backslash A$. Gdyby istniało otoczenie U punktu x rozłączne z A, to wówczas $A\subset U`$ oraz $x\notin U`$, czyli $x\notin clA$ (gdzie domknięcie rozumiane jest jako iloczyn zbiorów domkniętych zawierających A, zatem między innymi U`). Sprzeczność. W drugą stronę, jeśli $x\notin clA$, to $U=(clA)`$, $U\cap A=\emptyset$, o ile już dowodziliśmy, że domknięcie zbioru jest zbiorem domkniętym. --- Mała uwaga techniczna. Topologię można różnie wprowadzać (o tym dużo u Engelkinga). Jeśli zaczniemy od definicji mówiącej między innymi, że suma dowolnie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, to z praw de Morgana mamy od razu, że przekrój dowolnie wielu zbiorów domkniętych (dopełnień zbiorów otwartych) jest zbiorem domkniętym. Zatem domknięcie A zdefiniowane jako przekrój zbiorów domkniętych zawierających A jest zbiorem domkniętym na pewno i bez dodatkowych dowodów. Jednakże można wprowadzić definicje na tyle inaczej, że wtedy tego rodzaju własności robią się nieoczywiste i wymagają dowodów. Z kolei inne rzeczy będą wówczas łatwe. Taki los. W przypadku tego działu matematyki dobrze podawać, jakie własności były wcześniej wykazane, przez co można z nich teraz korzystać. -- Jeszcze mniejsza uwaga techniczna W rozwiązaniu zadania 1 korzystam z własności dowodzonej w 2.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj