Topologia, zadanie nr 4447
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| mate_matykaa postów: 117 |  2016-04-12 15:17:181. Niech (X, $d_{1}$) i (Y,$d_{2}$) będą przestrzeniami metrycznymi, f: X → Y oraz $x_{0}$ ∈ X. Wykazać, że funkcja jest ciągła w punkcie $x_{0}$ w sensie definicji Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w tym punkcie sensie definicji Heinego. def cauchy-ego: $\forall_{\epsilon>0}$$\exists_{\delta>0}$$\forall_{xnalezy do R}$|x-$x_{0}$|<$\delta$ $\Rightarrow$ |f(x)-f($x_{0}$)|<$\epsilon$ deh heinego: $\forall_{x_{n}}$ $x_{n}$$\rightarrow$$x_{0}$ $\Rightarrow$ f($x_{n}$)$\rightarrow$f($x_{0}$) |
| mate_matykaa postów: 117 | 2016-04-12 15:18:09 f:X$\rightarrow$Y oraz $x_{0}$$\in$ X |
| mate_matykaa postów: 117 | 2016-04-12 15:21:29 cauchy'ego: d1(x,x0)<$\delta$$\Rightarrow$d2(f(x),f(x0))<$\epsilon$ heinego: xn->x0 w metryce d1 $\Rightarrow$ f(xn)->f(x0) w metryce d2 |
| tumor postów: 8070 | 2016-04-12 15:47:40 Jeśli jest ciągła w punkcie $x_0$ w sensie C., to weźmy ciąg $x_n\to x_0$ w sensie metryki $d_1$. Wówczas dla każdego $\delta>0$ istnieje $n_0$, że dla $n>n_0$ mamy $d_1(x_n,x_0) <\delta$ Ustalmy teraz dowolnie $\epsilon>0$. Oczywiście z ciągłości w sensie C. wynika, że istnieje $\delta>0$ taka, że $d_1(x_n,x_0) <\delta \Rightarrow d_2( f(x_n),f(x_0) ) <\epsilon$ ale stąd wynika, że dla $n>n_0$ mamy $d_2( f(x_n),f(x_0) ) <\epsilon$ a skoro dla dowolnego $\epsilon>$0 możemy znaleźć $n_0$, żeby spełniony był ten warunek, to $f(x_n)\to f(x_0)$ w sensie metryki $d_2$. Czyli jeśli jest ciągła w sensie C., to jest ciągła w sensie H. --- Przypuśćmy, że istnieje $\epsilon>0$ taki, że nie istnieje $\delta$ spełniająca warunek definicji Cauchy'ego. Niech zatem $\delta_n=\frac{1}{n}$ i wiemy, że w kuli $K(x_0,\delta_n)$ istnieje $x_n$ taki, że $d_2(f(x_n),f(x_0))\ge \epsilon$ Wobec tego $x_n\to x_0$ (bo $d_1(x_n,x_0)<\frac{1}{n}\to 0$), ale nie jest prawdą $f(x_n)\to f(x_0)$. Czyli jeśli nie jest ciągła w $x_0$ w sensie C., to nie jest ciągła w sensie H. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj