logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 4461

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

domis567
postów: 25
2016-04-14 19:59:06

Niech $U, V \in R^{n}$ będą zbiorami wypukłymi, wykaż, że :
1) $U\cap V $ jest zbiorem wypukłym,
2) $U\cup V $ moze nie byc zbiorem wypukłym


janusz78
postów: 820
2016-04-14 21:27:22

Oznaczmy $d(x_{1}, x_{2})$ - odcinek o końcach $ x_{1},x_{1}$

1)
Jeżeli $ x_{1}, \ \ x_{2}\in U$ to $d(x_{1}, x_{2})\subset U,$ bo $ U $ jest zbiorem wypukłym.

Jeśli takie same punkty $x_{1}, \ \ x_{2}$ należą do $ V$ to $d(x_{1},x_{2}) \subset V,$ bo $ V $ jest zbiorem wypukłym.

Stąd wynika, że $ d(x_{1},x_{2})\subset U\cap V$, czyli $U\cap V $ jest zbiorem wypukłym.

cbdo.


2)
Rozważmy np. dwa koła $ K_{1}, K_{2}$ rozłaczne zewnętrznie. Wiemy, że zbiory $K{1}, K_{2}$ są wypukłe. Czy zbiór $K_{1}\cup K_{2}$ jest wypukły?
Oczywiście nie!

Niech $ A\in K_{1}, \ \ B\in K_{2}$. Wówczas $ \overline{K_{1}K_{2}} \nsubseteq K_{1}\cup K_{2}.$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj