logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4470

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mate_matykaa
postów: 117
2016-04-19 15:37:22

zadania optymalizacyjne...(zapomniało się jak to się robi )

1. Drut o długości 4,2 m dzielimy na dwie części. Z pierwszej części układamy brzeg kwadratu. Z drugiej części układamy brzeg prostokąta, w którym stosunek dwóch kolejnych boków jest równy 1:3. W jakim stosunku należy podzielić drut, by suma pół kwadratu i prostokąta była najmniejsza?

2. Trzy boki czworokąta mają długość 1 cm. Jaka powinna być długość czwartego boku i jaki powinien być kształt czworokąta, żeby , aby jego pole było największe możliwe?

3. W półkole o promieniu R wpisać prostokąt o największym polu, którego dwa wierzchołki leżą na półokręgu i dwa na średnicy.


mate_matykaa
postów: 117
2016-04-19 16:07:44

mógłby ktoś sprawdzić mi to zadanie 1.:
a-bok kwadratu, b, 3b - boki prostokąta
4a+8b=4,2 -> a=1,05-2b
S-suma pól S=a^2+3b^2
S(b)=(1,05-2b)^2+3b^2=...=7b^2-4,2b+1,1025
S'(b)=14b-4,2
wyliczam ekstrema i tu mi wyjdzie minimum:
14b-4,2=0
b=0,3 ---> a=0,45

4*0,45=1,8
teraz wyliczam stosunek jaki trzeba podzielić ten drut czyli
4,2 / 1,8 =42/18=7/3 ?? o to chodziło?


tumor
postów: 8070
2016-04-19 16:15:40

Robi się pochodnymi-ekstremami, choć czasem można prościej.

1. Jedna część drutu to $x$, przyjmijmy, że z tego robimy kwadrat o polu $(\frac{x}{4})^2$.
Z reszty $4,2-x$ robimy prostokąt, jego pole to
$\frac{4,2-x}{8}*\frac{3(4,2-x)}{8}.$

Suma pól wyraża się funkcją kwadratową, zatem znalezienie minimum ogranicza się do znalezienia wierzchołka paraboli, jak w liceum. Nie trzeba pochodnymi.

2. Gdybyśmy mieli pewność, że będzie to trapez równoramienny, moglibyśmy po prostu zapisać wzór na pole trapezu w zależności od nieznanego boku x (gdzie $x\in (0,3)$, żeby dało się w ogóle zrobić czworokąt).

Ale skoro nie znamy też kształtu, to możemy albo odgadnąć rozwiązanie i próbować je uzasadnić, albo sobie przedstawić pole przy użyciu dwóch niewiadomych, a nie tylko jednej.

a) możemy opisać x jako podstawę czworokąta w układzie. $\alpha$ to kąt wewnętrzny między bokiem x a sąsiednim bokiem o długości 1.
Te dwie niewiadome wyznaczają już jednoznacznie wielkość i kształt czworokąta (przy braku jednoznaczności jedna z opcji jest wklęsła, ma mniejsze pole niż czworokąt wypukły, możemy ją odrzucić)

b) możemy przyjąć niewiadome x (bok) i d (jedna z przekątnych).

Następnie zapisujemy pole jako funkcję dwóch zmiennych, w zależności od opcji, na którą się zdecydowaliśmy.
Na zmienne nałożone muszą być pewne ograniczenia, żeby w ogóle wykonalne było nasze zadanie.
Następnie przy użyciu pochodnych szukamy ekstremum (warunkowego).

Teoretycznie możemy też najpierw zastanowić się, przy ustalonym x, jaką największą wartość będzie mieć pole w zależności od drugiej niewiadomej (czyli ekstremum jednej zmiennej), a potem dopiero wartość tego pola maksymalizujemy ze względu na x.


3. możemy poprowadzić promień ze środka okręgu do wierzchołka prostokąta leżącego na półokręgu. Następnie opisujemy pole prostokąta w zależności od kąta, jaki tworzy ten promień ze średnicą.


-----
w zadaniu pierwszym wykonanym na szybko otrzymałem x=1,8

Wiadomość była modyfikowana 2016-04-19 22:15:53 przez tumor

mate_matykaa
postów: 117
2016-04-19 16:35:20

skoro x=1,8 to stosunek będzie taki ze trzeba: 4,2 / 1,8 ?


mate_matykaa
postów: 117
2016-04-19 16:36:32

w sumie tam wyżej inaczej mam zobione ale wynik taki sam 1,8 a potem ten stosunek 7/3 ..czyli też jest to dobre>?


mate_matykaa
postów: 117
2016-04-19 16:46:44

4,2-x=2,4 ..chyba ze ten stosunek podziału to 2,4 /1,8 ?


mate_matykaa
postów: 117
2016-04-19 16:48:47

i ten stosunek bedzie 4:3 ?


tumor
postów: 8070
2016-04-19 21:13:18

Skoro $x=1,8$, to reszta jest $2,4$
czyli stosunek to $\frac{1,8}{2,4}$, albo, co na jedno wychodzi, odwrotnie.

Tak, stosunek 4:3.


mate_matykaa
postów: 117
2016-04-19 22:11:49

dziękuję!! :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj