Teoria mnogości, zadanie nr 4481

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-04-21 02:15:12 Wyznacz obraz zbioru A wzgledem funkcji f. f: $R\rightarrow R$; f(x)=$x^{2}-3x+2$; A=[0,1] f[[0,1]]={$x^{2}-3x+2$: x$\in$ [0,1]} $0\le x \le 1$ () $0\le x^{2} \le 1$ () $-3 \le -3x\le 0$ ()+(**) $-3\le x^{2}-3x \le 1 /+2$ $-1\le x^{2}-3x+2 \le 3 $ Zatem f[[0,1]]={$x^{2}-3x+2$: x$\in$ [0,1]}=[-1,3] Ale w odp. jest inaczej. Dlaczego? Co robie zle?

tumor postów: 8070	2016-04-21 09:28:13 Piszesz, że $x^2\le 1,$ przy tym może być równe 1 dla x=1. Piszesz, że $-3x\le 0,$ przy tym może być równe 0 dla x=0. A potem dodajesz nierówności i piszesz, że $x^2-3x\le 1$, ale już nie może to być równe 1+0, bo dla każdego x jest mniejsze. Bo dla jakiego niby x jest równe? Twoja nierówność JEST prawdziwa, ale nie opisuje zbioru wartości. Zbiór wartości funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym: liczymy f(0) liczymy f(1) i sprawdzamy jeszcze, czy wierzchołek paraboli trafia w przedziale, $\frac{-b}{2a}=\frac{3}{2}\notin [0,1]$. Na lewo od wierzchołka funkcja jest malejąca, zbiorem wartości jest $[f(1),f(0)]$

geometria postów: 865	2016-04-21 11:30:46 Dziekuje. b) $f^{-1}$[($-\infty, -6]$]={x$\in R: x^{2}-3x+2$ $\in$($-\infty,-6]$} $x^{2}-3x+2\le -6$ $x^{2}-3x+8\le 0$ $\triangle <0$; zbior pusty, bo nie ma takiego x, ktory spelnia te nierownosc. $f^{-1}$[($-\infty, -6]$]=$\emptyset$ c) $f^{-1}$[($-\infty, 1]$]={x$\in R: x^{2}-3x+2$ $\in$($-\infty, 1]$} $x^{2}-3x+2\le 1$ $x^{2}-3x+1\le 0$ $\triangle$= 5; $\sqrt{\triangle}$=$\sqrt{5}$ Rozwiazanie tej nierownosci to przedzial [$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$] $f^{-1}$[($-\infty, 1]$]=[$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]. Dobrze? Czy teraz moge z takich nierownosci obliczac? Kiedy mozna a kiedy nie, bo czasami obliczam z tych nierownosci i wychodzi dobrze. Probowalem obliczyc $f$[($-\infty, 1]$] nierownosciami, ale chyba zle mi wyszlo. A jak obliczyc f[$R$]? Tutaj nierownosciami juz chyba w ogole nie mozna nic zrobic.

tumor postów: 8070	2016-04-21 11:55:05 ok. Użyj wiedzy z liceum. Funkcja kwadratowa. Parabola. Zbiór wartości od wierzchołka do +- nieskończoności, zależy w którą stronę ramiona.

geometria postów: 865	2016-04-22 16:10:54 Zalozmy, ze mamy tak okreslona funkcje f: R$\backslash ${$2,4$}$\rightarrow$R$\backslash ${$5$} Wowczas np. f[{2}] i $f^{-1}$[{5}] nie da sie wyznaczyc (bo {2}$\nsubseteq$R$\backslash ${$2,4$} oraz {5}$\nsubseteq$R$\backslash ${$5$}) prawda?

tumor postów: 8070	2016-04-22 16:24:21 Na pewno nie ma $f(2)$, więc i nie ma $f[A]$ dla żadnego A, do którego należy $2$. Chyba że masz inną definicję obrazu. Ale zazwyczaj bierze się podzbiory dziedziny. Ale w przypadku przeciwdziedziny nie ma takich ograniczeń, mamy $f^{-1}[\{5\}]=\emptyset$, bo po prostu pusty jest zbiór argumentów, dla których przyporządkowane wartości są w $\{5\}$. Wszak to, co jest po strzałce, możesz rozszerzyć. Funkcja nie przyjmuje wartości 5, ale możesz napisać $f:R\backslash \{2,4\}\to R$. Przeciwdziedzinę możesz sobie rozszerzyć. Funkcja, która była "na" może od tego przestać być "na", ale manewr taki ogólnie dozwolony jest.

geometria postów: 865	2016-04-22 17:32:22 A dlaczego w przypadku obrazu zbioru nie mozna napisac f[{2}]=$\emptyset$?

tumor postów: 8070	2016-04-22 21:53:18 Znana mi definicja obrazu mówi, że jeśli X jest dziedziną i $A\subset X, to f[A]=\{f(x):x\in A\}$. Obraz funkcji istnieje dla podzbiorów dziedziny. Przeciwobraz analogicznie istnieje dla podzbiorów przeciwdziedziny, ale zamiast przeciwdziedziny zawsze możemy wziąć jej nadzbiór (nie przecząc definicji funkcji), a z dziedziną tak zrobić nie możemy (bo zaprzeczylibyśmy definicji funkcji)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj