logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4481

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-04-21 02:15:12

Wyznacz obraz zbioru A wzgledem funkcji f.
f: $R\rightarrow R$; f(x)=$x^{2}-3x+2$; A=[0,1]
f[[0,1]]={$x^{2}-3x+2$: x$\in$ [0,1]}

$0\le x \le 1$
(*) $0\le x^{2} \le 1$
(**) $-3 \le -3x\le 0$
(*)+(**) $-3\le x^{2}-3x \le 1 /+2$
$-1\le x^{2}-3x+2 \le 3 $
Zatem
f[[0,1]]={$x^{2}-3x+2$: x$\in$ [0,1]}=[-1,3]
Ale w odp. jest inaczej. Dlaczego? Co robie zle?


tumor
postów: 8070
2016-04-21 09:28:13

Piszesz, że $x^2\le 1,$ przy tym może być równe 1 dla x=1.
Piszesz, że $-3x\le 0,$ przy tym może być równe 0 dla x=0.

A potem dodajesz nierówności i piszesz, że $x^2-3x\le 1$, ale już nie może to być równe 1+0, bo dla każdego x jest mniejsze.
Bo dla jakiego niby x jest równe?

Twoja nierówność JEST prawdziwa, ale nie opisuje zbioru wartości.

Zbiór wartości funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym:
liczymy f(0)
liczymy f(1) i sprawdzamy jeszcze, czy wierzchołek paraboli trafia w przedziale, $\frac{-b}{2a}=\frac{3}{2}\notin [0,1]$.
Na lewo od wierzchołka funkcja jest malejąca, zbiorem wartości jest $[f(1),f(0)]$


geometria
postów: 863
2016-04-21 11:30:46

Dziekuje.

b)
$f^{-1}$[($-\infty, -6]$]={x$\in R: x^{2}-3x+2$ $\in$($-\infty,-6]$}

$x^{2}-3x+2\le -6$
$x^{2}-3x+8\le 0$
$\triangle <0$; zbior pusty, bo nie ma takiego x, ktory spelnia te nierownosc.
$f^{-1}$[($-\infty, -6]$]=$\emptyset$

c)
$f^{-1}$[($-\infty, 1]$]={x$\in R: x^{2}-3x+2$ $\in$($-\infty, 1]$}
$x^{2}-3x+2\le 1$
$x^{2}-3x+1\le 0$
$\triangle$= 5; $\sqrt{\triangle}$=$\sqrt{5}$

Rozwiazanie tej nierownosci to przedzial [$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]
$f^{-1}$[($-\infty, 1]$]=[$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$].

Dobrze? Czy teraz moge z takich nierownosci obliczac?
Kiedy mozna a kiedy nie, bo czasami obliczam z tych nierownosci i wychodzi dobrze.

Probowalem obliczyc $f$[($-\infty, 1]$] nierownosciami, ale chyba zle mi wyszlo.

A jak obliczyc f[$R$]? Tutaj nierownosciami juz chyba w ogole nie mozna nic zrobic.




tumor
postów: 8070
2016-04-21 11:55:05

ok.

Użyj wiedzy z liceum. Funkcja kwadratowa. Parabola. Zbiór wartości od wierzchołka do +- nieskończoności, zależy w którą stronę ramiona.


geometria
postów: 863
2016-04-22 16:10:54

Zalozmy, ze mamy tak okreslona funkcje
f: R$\backslash ${$2,4$}$\rightarrow$R$\backslash ${$5$}

Wowczas np. f[{2}] i $f^{-1}$[{5}] nie da sie wyznaczyc (bo {2}$\nsubseteq$R$\backslash ${$2,4$} oraz {5}$\nsubseteq$R$\backslash ${$5$}) prawda?



tumor
postów: 8070
2016-04-22 16:24:21

Na pewno nie ma $f(2)$, więc i nie ma $f[A]$ dla żadnego A, do którego należy $2$.
Chyba że masz inną definicję obrazu. Ale zazwyczaj bierze się podzbiory dziedziny.

Ale w przypadku przeciwdziedziny nie ma takich ograniczeń, mamy
$f^{-1}[\{5\}]=\emptyset$, bo po prostu pusty jest zbiór argumentów, dla których przyporządkowane wartości są w $\{5\}$.
Wszak to, co jest po strzałce, możesz rozszerzyć. Funkcja nie przyjmuje wartości 5, ale możesz napisać
$f:R\backslash \{2,4\}\to R$.
Przeciwdziedzinę możesz sobie rozszerzyć. Funkcja, która była "na" może od tego przestać być "na", ale manewr taki ogólnie dozwolony jest.


geometria
postów: 863
2016-04-22 17:32:22

A dlaczego w przypadku obrazu zbioru nie mozna napisac f[{2}]=$\emptyset$?


tumor
postów: 8070
2016-04-22 21:53:18

Znana mi definicja obrazu mówi, że jeśli X jest dziedziną i $A\subset X, to f[A]=\{f(x):x\in A\}$.
Obraz funkcji istnieje dla podzbiorów dziedziny.

Przeciwobraz analogicznie istnieje dla podzbiorów przeciwdziedziny, ale zamiast przeciwdziedziny zawsze możemy wziąć jej nadzbiór (nie przecząc definicji funkcji), a z dziedziną tak zrobić nie możemy (bo zaprzeczylibyśmy definicji funkcji)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj