logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4487

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-04-21 22:15:17

Sprawdz, czy podane funkcje sa roznowartosciowe i "na".
a) f: $N\times N \rightarrow N$; f(n,k)=n+k
f nie jej 1-1, bo f(0,1)=f(1,0)=1.
f jest na, bo dla dowolnego y$\in N$ istnieje para $<$y,0$> $$\in N^{2}$, dla ktorej f(y,0)=y+0=y.

b) g: $Z \rightarrow Z^{2}$; g(n)=<2n, -2n>
g jest 1-1, bo dla dowolnych $x_{1}, x_{2}$, jesli $x_{1}\neq x_{2}$, to g($x_{1}$)=<2$x_{1}$, $-2x_{1}$>$\neq$ <2$x_{2}$, $-2x_{2}$>=g($x_{2}$).
tutaj nie wiem jak uzasadnic badz nie "na"

c) h: $P(N)\rightarrow N$; h(A)=minA
h nie jest 1-1, bo h({1,2})=h({1,3})=1.
h nie jest "na", bo dla dowolnej liczby naturalnej nie istnieje najmniejsza liczba w zbiorze pustym.

Czy dobrze jest to uargumentowane? (szczegolnie bycie "na", bo z tym mam problem)



tumor
postów: 8070
2016-04-21 22:29:36

a) ok
b) nie jest suriekcją.
wystarczy podać punkt, którego nie ma w obrazie. (1,2), żeby daleko nie szukać

c) funkcja jest źle zdefiniowana, skoro nie istnieje $min(\emptyset)$.
Nie znaczy to, że nie jest "na". Jest źle określona i twórca zadania powinien to poprawić.
Żeby nie była "na" musiałby istnieć element w przeciwdziedzinie (czyli tu w N), który nie jest wartością dla żadnego argumentu. Oczywiście każde $n=min\{n\}$, wobec tego każda liczba naturalna jest wartością funkcji h i jest to funkcja "na"


geometria
postów: 863
2016-04-22 17:14:25

Niech $A=${2, 3, 4, 5}, $C=$$\emptyset$.
Wowczas

$A\backslash C$=$A\backslash \emptyset$={2, 3, 4, 5}$\backslash$$\emptyset$={2, 3, 4, 5}

$C\backslash A$=$\emptyset\backslash A$=$\emptyset \backslash${2, 3, 4, 5}=$\emptyset$

$\emptyset\backslash \emptyset$=$\emptyset$

---------------------------------------

$N=${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}
Chcac odjac od tego zbioru np. liczbe 1 to pisze wtedy tak:
$N\backslash${1} (nie moge napisac $N\backslash {1}$, bo od zbiorow nie moge odejmowac liczb tylko zbiory)

$P(N)=${$\emptyset$, {0}, {1} {2}, {3}, {4}, {5}, ...}
Chcac odjac od tego zbioru np. {1} to pisze wtedy tak:
$P(N)\backslash${{1}} (nie moge napisac $P(N)\backslash${1}, bo to oznaczaloby, ze odejmuje liczbe 1 a takiego elementu w tym zbiorze nie ma)

Chcac odjac $\emptyset$ napisze
$P(N)\backslash${$\emptyset$}.

I teraz mam pytanie: dlaczego chcac odjac zbior $\emptyset$ musze to wziac w klamerki? Moze jest to analogiczne do poprzedniego przykladu, ale jakos ze zbiorem pustym tego nie widze.


tumor
postów: 8070
2016-04-22 22:01:04

To co przed kreską jest ok.

W ujęciu teorii mnogości liczby to też zbiory (w ogóle: wszystko jest zbiorem). Ich zapis w tej postaci jest skomplikowany.
Tak więc teoretycznie da się wykonać mnogościowo działanie $N\backslash 1$, ale nie jest to nam do niczego potrzebne. :)

Rzeczywiście, sensowniej jest uznać, że odjęcie liczby 1 oznacza wyrzucenie elementu 1, czyli różnicę ze zbiorem jednoelementowym $\{1\}$.


Jeśli z P(N) chcesz wyrzucić element $\{1\}$, to odejmujesz zbiór jednoelementowy zawierający ten element, czyli $\{\{1\}\}$. Podobnie z elementem $\emptyset$, zbiór jednoelementowy to wtedy $\{\emptyset\}$.
Zauważ, że $\{1\}$ i $\emptyset$ są oba ELEMENTAMI zbioru.

Oczywiście istnieje też możliwość odjęcia $P(N)\backslash \emptyset = P(N)$. Tu $\emptyset$ jest PODZBIOREM zbioru, od którego odejmujemy.

Jeśli chcesz się pozbyć pojedynczego ELEMENTU zbioru, to odejmujesz od tego zbioru ZBIÓR jednoelementowy zawierający ten ELEMENT. Nieważne, co jest tym elementem.

Natomiast zupełnie niezależnie od tego możesz wykonać działanie odejmowania zbioru pustego, które NIC nie zmienia.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj