logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4488

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-04-22 01:00:29

Wyznacz wzory, ktorymi okreslone sa funkcje $f \circ f$, $g\circ g$, $f\circ g$, $g\circ f$, jesli:
a)
$f(x)=$$\left\{\begin{matrix} x; dla x\ge 0 \\ -x; dla x<0 \end{matrix}\right.$
$g(x)=2x+1$

Moglbym poprosic o przyklad zlozenia funkcji $f\circ f$, bo z tym mam problem.

Z definicji: $(f\circ f)(x)=f(f(x))=f(...)$ nie wiem jak to dobrze zapisac.


tumor
postów: 8070
2016-04-22 08:04:51

$ f$ to wartość bezwzględna
$f\circ f = f$




geometria
postów: 863
2016-04-22 10:38:38

b)
f: $R\rightarrow R$
$f(x)=$$\left\{\begin{matrix} x-2; dla x\ge 0 \\ -x-1; dla x<0 \end{matrix}\right.$

A w takim przypadku jak wyznaczyc $f\circ f$?


tumor
postów: 8070
2016-04-22 12:42:55

mamy złożenie $f(f(x))$, tu jest dwa razy ta sama funkcja, ale mogłyby być różne, więc je nazwę
$f_z(f_w(x))$, czyli zewnętrza i wewnętrzna.

Dziedzina $f_w$ jest podzielona na przedziały $(-\infty, 0)$ oraz $[0,\infty)$. Podobnie $f_z$.

Jeśli $x\in (-\infty,0)$, to $f_w(x)\in (-1,\infty)$, Podzielmy ten przedział na $(-1,0)$ i $[0,\infty)$ (dzielimy na części wspólne z przedziałami dziedziny funkcji $f_z$).

Wówczas żeby $f_w(x) \in (-1,0)$, musimy mieć $x\in (-1,0)$. Czyli
a) jeśli $x\in (-1,0)$, to $f_w(x)=-x-1\in (-1,0)$, czyli $f_z(f_w(x))=-(f_w(x))-1=-(-x-1)-1$
Żeby $f_w(x)\in [0,\infty)$ musi być $x\in (-\infty,-1]$, wtedy
b) jeśli $x\in (-\infty,-1]$, to $f_w(x)=-x-1\in[0,\infty)$, czyli
$f_z(f_w(x))=(-x-1)-2$

Teraz drugi przedział dziedziny $f_w$, czyli $x\in [0,\infty)$, wtedy
$f_w(x) \in [-2,\infty)$
c) dla $x\in [2,\infty)$ mamy $f_w(x)\in [0,\infty)$, czyli
$f_z(f_w(x))=(x-2)-2$
d) dla $x \in [0,2)$ mamy $f_w(x)\in [-2,0)$, wobec tego
$f_z(f_w(x))=-(x-2)-1$



-----

Możemy też rozumować od innej strony.
Oczywiście składać te dwie funkcje możemy tylko jako
$-(-x-1)-1$
$-(x-2)-1$
$(-x-1)-2$
$(x-2)-2$

Pozostaje wtedy ustalić dla jakich (i czy w ogóle dla jakichś) x złożenie tak wygląda.
a) $f_z(f_w(x))=-(-x-1)-1$ jeśli $f_w\in (-\infty,0) \wedge x<0$, czyli
$-x-1\in (-\infty,0) \wedge x<0$, czyli $-x \in (-\infty,1)\wedge x<0$, czyli $x\in (-1,\infty) \wedge x<0$, czyli $x\in (-1,0)$
b) $f_z(f_w(x))=-(x-2)-1 \iff x \ge 0 \wedge f_w(x)<0 \iff
x\ge 0 \wedge x-2<0 \iff x\in [0,2)$
c)
d)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj