logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 4496

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-04-25 16:53:20

Podaj jakie wlasnosci (zwrotna, symetryczna, slabo antysymetryczna (($\forall_{x,y}\in X$)$xRy \wedge yRx \Rightarrow x=y $), przechodnia) maja relacje okreslone za pomoca diagramu.



tumor
postów: 8070
2016-04-25 17:08:28

Hm, nie brakuje diagramu?


geometria
postów: 863
2016-04-25 17:54:39




geometria
postów: 863
2016-04-25 17:55:47

Tylko nic nie widac.


tumor
postów: 8070
2016-04-25 18:03:23

No to jak mam powiedzieć?
Możesz diagramy opisać. Wypisz wszystkie elementy (punkty), jakie się pojawiają.
W diagramie zapewne są strzałki, więc wypisz też strzałki w postaci (początek,koniec).

Wiadomość była modyfikowana 2016-04-25 18:04:38 przez tumor

geometria
postów: 863
2016-04-25 18:13:04

Czyli np. jezeli jest strzalka z punktu a do punktu b, to napisac (a,b), jak z punktu a do punktu a, to (a,a) itd. tak?
Jutro to dokoncze.


tumor
postów: 8070
2016-04-25 18:15:36

tak. Albo skombinuj lepsze zdjęcie. Natomiast zawsze lepszy jest dla mnie tekst od zdjęcia.


geometria
postów: 863
2016-04-26 09:19:44

a)
punkty na diagramie: $a, b, c, d, e, f$.
(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (f,f), (b,c), (c,b), (b,d), (d,b), (c,d), (d,c), (e,f), (f,e).

b)
punkty na diagramie: $a,b,c,d,e.$
(a,b), (b,c), (a,c), (d,e).

c)
punkty na diagramie: $a,b,c,d.$
(b,b), (d,d), (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c,d).

d)
punkty na diagramie: $a,b,c,d,e,f.$
(a,b), (b,a), (c,d), (d,c), (e,f), (f,e).

e)
punkty na diagramie: $a,b,c,d,e.$
(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,b), (b,c), (c,d), (d,e), (e,a).

f)
punkty na diagramie: $a,b,c,d,e,f.$
(zadnych strzalek)

g)
punkty na diagramie: $a,b,c,d,e.$
(a,a), (c,c), (a,b), (b,e), (c,b), (b,d).

h)
punkty na diagramie: $a,b,c,d,e.$
(a,b), (a,c), (c,a), (d,a), (b,d), (d,b), (d,e).

i)
punkty na diagramie: $a,b,c.$
(a,a), (a,b), (b,c), (c,a).

j)
punkty na diagramie: $a,b,c,d,e.$
(d,d), (a,b), (a,c), (b,e), (d,c), (c,b).

k)
punkty na diagramie: $a,b,c,d,e.$
(e,e), (e,a), (a,b), (a,c), (b,c), (c,d), (d,c), (b,d), (d,e).

l)
punkty na diagramie: $a,b,c,d.$
(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,c), (a,b), (b,a), (c,b), (b,c).



tumor
postów: 8070
2016-04-26 09:45:40

Relacja jest zwrotna, jeśli dla każdego punktu x diagramu zawiera (x,x). Na przykład l) jest zwrotna.

Nie jest zwrotna j), bo zawiera parę (d,d), ale już nie (a,a) czy (b,b).

Relacje f) czy h) są nawet przeciwzwrotne, co znaczy, że nie zawierają żadnej pary (x,x).

----------

Relacja jest symetryczna, jeśli dla każdej pary (x,y) występuje też (y,x) (oczywiście (x,x) nie trzeba wtedy pisać dwa razy).
Relacja l) nie jest symetryczna, bo ma parę (a,c), ale nie ma (c,a).
Relacja d) jest symetryczna, bo nie ma żadnej pary pozbawionej "lustrzanego odbicia".

Relacja jest słabo antysymetryczna, jeśli żadna para (x,y) dla różnych x,y nie ma odpowiednika (y,x). Przy tym relacja słabo antysymetryczna dopuszcza pary (x,x), których by nie dopuszczała asymetryczna.
k) nie jest słabo antysymetryczna, bo pojawia się (c,d),(d,c).
i) jest słabo antysymetryczna. Gdyby pytanie było jeszcze o asymetryczną, to wtedy by nie była z uwagi na (a,a).

-------

Przechodnia jest wtedy, gdy parom (x,y),(y,z) zawsze towarzyszy także (x,z).
Na przykład j) nie jest przechodnia, bo mamy pary (a,b),(b,e), ale nie mamy (a,e).
f) jest przechodnia. (Poprzednik implikacji fałszywy, skoro nie ma żadnych par, więc implikacja zawsze spełniona)
Jest przechodnia relacja c)
(b,b), (d,d), (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c,d)
No bo mamy
(a,b),(b,c) oraz (a,c)
(a,b),(b,d) oraz (a,d)
(a,c),(c,d) oraz (a,d)
(b,c),(c,d) oraz (b,d)
(Par (b,b) czy (d,d) sprawdzać nie trzeba, bo działają tu analogicznie do elementów neutralnych).


Najlepiej wypisz, które są zwrotne (dla ćwiczenia też przeciwzwrotne), które symetryczne lub słabo antysymetryczne (ale możesz też asymetryczne), no i które są przechodnie, a ja sprawdzę przy okazji.


geometria
postów: 863
2016-04-27 11:46:48

a)
zwrotna, bo kazdy punkt jest w relacji z samym soba
symetryczna, bo dla wszystkich punktow spelniona (prawdziwa) jest implikacja xRy $\Rightarrow$ yRx.
nie jest slabo antysymetryczna, bo (c,d), (d,c), ale c$\neq$d (implikacja falszywa)
przechodnia, bo (b,c), (c,d) oraz (b,d)
(c,d), (d,b) oraz (c,b)
(d,b), (b,c) oraz (d,c)
(c,b), (b,d) oraz (c,d)
(d,c), (c,b) oraz (d,b)
(b,d), (d,c) oraz (b,c)
(e,f), (f,e) oraz (e,e)
(f,e), (e,f) oraz (f,f)
------
(e,f) i (f,d), ale f nie jest w relacji z d (poprzednik falszywy, implikacja prawdziwa)

b)
nie jest zwrotna, bo nie wszystkie punkty (akurat w tym przypadku zadne) sa w relacji z samym soba
nie jest symetryczna, bo (a,b), ale b nie jest w relacji z a (implikacja falszywa)
slabo antysymetryczna, bo dla par (x,y) nie ma odpowiednika (y,x) (implikacja prawdziwa, bo poprzednik falszywy)
przechodnia, bo (a,b), (b,c) oraz (a,c)
(d,e) ale e nie jest w relacji z zadnym punktem (implikacja prawdziwa podobnie (b,c) (a,c))

c)
nie jest zwrotna, bo nie wszystkie punkty sa w relacji z samym soba (np. punkt a)
nie jest symetryczna, bo (a,b) ale nie (b,a)
slabo antysymetryczna, bo dla par (x,y) nie ma odpowiednika (y,x) (implikacja prawdziwa, bo poprzednik falszywy)
przechodnia

d)
nie jest zwrotna, bo nie wszystkie punkty sa w relacji z samym soba (np. punkt a)
symetryczna
nie jest slabo antysymetryczna, bo np. (c,d), (d,c), ale c$\neq$d (implikacja falszywa)
nie jest przechodnia, bo (a,b) i (b,a), ale nie (a,a).

e)
zwrotna, bo kazdy punkt jest w relacji z samym soba
nie jest symetryczna, bo (a,b), ale nie (b,a)
slabo antysymetryczna, bo dla par (x,y) nie ma odpowiednika (y,x) (implikacja prawdziwa, bo poprzednik falszywy)
nie jest przechodnia, bo (a,b) i (b,c), ale nie (a,c)

f)
nie jest zwrotna, bo zaden punkt nie jest w relacji z samym soba
symetryczna slabo antysymetryczna, przechodnia, bo poprzednik falszywy (nie ma zadnej pary), czyli implikacja prawdziwa

g)
nie jest zwrotna, bo nie wszystkie punkty sa w relacji z samym soba (np. punkt b)
nie jest symetryczna, bo (a,b), ale nie (b,a)
slabo antysymetryczna, bo dla par (x,y) nie ma odpowiednika (y,x) (implikacja prawdziwa, bo poprzednik falszywy)
nie jest przechodnia, bo (a,b) i (b,e), ale nie (a,e)

h)
nie jest zwrotna, bo nie wszystkie punkty sa w relacji z samym soba (np. punkt b)
nie jest symetryczna, bo (a,b), ale nie (b,a)
nie jest slabo antysymetryczna, bo np. (a,c), (c,a), ale c$\neq$a (implikacja falszywa)
nie jest przechodnia, bo (a,b) i (b,d), ale nie (a,d)

i)
nie jest zwrotna, bo nie wszystkie punkty sa w relacji z samym soba (np. punkt b)
nie jest symetryczna, bo (a,b), ale nie (b,a)
slabo antysymetryczna, bo dla par (x,y) nie ma odpowiednika (y,x) (implikacja prawdziwa, bo poprzednik falszywy)
nie jest przechodnia, bo (a,b) i (b,c), ale nie (a,c)

j)
nie jest zwrotna, bo nie wszystkie punkty sa w relacji z samym soba (np. punkt b)
nie jest symetryczna, bo (a,b), ale nie (b,a)
slabo antysymetryczna, bo dla par (x,y) nie ma odpowiednika (y,x) (implikacja prawdziwa, bo poprzednik falszywy)
nie jest przechodnia, bo (d,c) i (c,b), ale nie (d,b)

k)
nie jest zwrotna, bo nie wszystkie punkty sa w relacji z samym soba (np. punkt b)
nie jest symetryczna, bo (a,b), ale nie (b,a)
nie jest slabo antysymetryczna, bo (d,c) i (c,d), ale d$\neq$c
nie jest przechodnia, bo (d,e) i (e,a), ale nie (d,a)

l)
zwrotna, bo kazdy punkt jest w relacji z samym soba
nie jest symetryczna, bo (a,c), ale nie (c,a)
nie jest slabo antysymetryczna, bo (a,b) i (b,a), ale a$\neq$b
nie jest przechodnia, bo (c,b) i (b,a), ale nie (c,a)

dobrze (szczegolnie uzasadnienia)?


strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 24 drukuj